广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）
设 $R$ 是实数域，集合
$$
V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & a & b \\
0 & 0 & a
\end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} .
$$
（1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间；
（2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数
$$
(A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3},
$$
则 $V$ 是一个欧式空间．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明V非空
取 $a=b=c=0$，则零矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in V$，故 $V$ 非空。
提示：注意零矩阵是任何子空间的元素，但需验证其形式符合V的定义。
步骤 2/8
目标：证明V对加法封闭
设 $A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} a' & b' & c' \\ 0 & a' & b' \\ 0 & 0 & a' \end{pmatrix} \in V$，则 $A+B=\begin{pmatrix} a+a' & b+b' & c+c' \\ 0 & a+a' & b+b' \\ 0 & 0 & a+a' \end{pmatrix}$，其形式与V中元素一致，故 $A+B \in V$。
提示：加法后矩阵的每个元素对应相加，注意保持上三角结构。
步骤 3/8
目标：证明V对数乘封闭
对任意 $k \in R$，$kA = \begin{pmatrix} ka & kb & kc \\ 0 & ka & kb \\ 0 & 0 & ka \end{pmatrix}$，形式符合V，故 $kA \in V$。
提示：数乘不改变矩阵的零元素位置。
步骤 4/8
目标：总结V是子空间
由非空、加法封闭、数乘封闭，根据线性子空间的定义，$V$ 是 $R^{3\times 3}$ 的一个线性子空间。
提示：子空间判定需验证三个条件：非空、加法封闭、数乘封闭。
步骤 5/8
目标：验证内积的对称性
对任意 $A,B \in V$，$(A,B)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，而 $(B,A)=b_1a_1+b_2a_2+b_3a_3$，由于实数乘法交换，两者相等，故对称性成立。
提示：对称性直接由实数乘法交换律得到。
步骤 6/8
目标：验证内积的线性性
对任意 $k \in R$，$A,B,C \in V$，其中 $C=\begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ 0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & c_1 \end{pmatrix}$，则 $(kA+B,C) = (ka_1+b_1)c_1 + (ka_2+b_2)c_2 + (ka_3+b_3)c_3 = k(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3) + (b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3) = k(A,C) + (B,C)$。
提示：注意线性性是对第一个变元而言，第二个变元固定。
步骤 7/8
目标：验证内积的正定性
$(A,A)=a_1^2+a_2^2+a_3^2 \geq 0$，且等号成立当且仅当 $a_1=a_2=a_3=0$，即 $A=0$。
提示：正定性要求非负且仅当零向量时为零，这里平方和性质保证。
步骤 8/8
目标：总结V是欧式空间
由于定义了满足对称性、线性性、正定性的内积，$V$ 构成一个欧式空间。
提示：欧式空间即定义了内积的实线性空间。
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