广西民族大学 2023年高等代数第0题

观察矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，发现它是上三角矩阵，且对角线元素均为1。因此其逆矩阵也是上三角矩阵，且对角线元素为1。设 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & a & b & c \\ 0 & 1 & d & e \\ 0 & 0 & 1 & f \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

计算 $AA^{-1}$ 的第一行各列： - 第1列：$1\cdot1 + 3\cdot0 + (-5)\cdot0 + 7\cdot0 = 1$，符合单位矩阵。 - 第2列：$1\cdot a + 3\cdot1 + (-5)\cdot0 + 7\cdot0 = a+3$，应等于0，得 $a = -3$。 - 第3列：$1\cdot b + 3\cdot d + (-5)\cdot1 + 7\cdot0 = b + 3d -5$，应等于0，得 $b + 3d = 5$。 - 第4列：$1\cdot c + 3\cdot e + (-5)\cdot f + 7\cdot1 = c + 3e -5f +7$，应等于0，得 $c + 3e -5f = -7$。

计算 $AA^{-1}$ 的第二行各列： - 第1列：$0\cdot1 + 1\cdot0 + 2\cdot0 + (-3)\cdot0 = 0$，符合。 - 第2列：$0\cdot a + 1\cdot1 + 2\cdot0 + (-3)\cdot0 = 1$，符合。 - 第3列：$0\cdot b + 1\cdot d + 2\cdot1 + (-3)\cdot0 = d+2$，应等于0，得 $d = -2$。 - 第4列：$0\cdot c + 1\cdot e + 2\cdot f + (-3)\cdot1 = e + 2f -3$，应等于0，得 $e + 2f = 3$。

计算第三行各列： - 第1列：$0$，第2列：$0$，第3列：$1$，第4列：$f+2$，应等于0，得 $f = -2$。 第四行各列：第1-3列为0，第4列为1，符合。

由 $d=-2$ 代入 $b+3d=5$ 得 $b + 3(-2)=5 \Rightarrow b-6=5 \Rightarrow b=11$。 由 $f=-2$ 代入 $e+2f=3$ 得 $e + 2(-2)=3 \Rightarrow e-4=3 \Rightarrow e=7$。 由 $e=7, f=-2$ 代入 $c+3e-5f=-7$ 得 $c + 3\cdot7 -5\cdot(-2) = c+21+10 = c+31 = -7 \Rightarrow c = -38$。

将求得的 $a=-3, b=11, c=-38, d=-2, e=7, f=-2$ 代入设的逆矩阵形式，得 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 11 & -38 \\ 0 & 1 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。