广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
十、（15 分）
已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间
$$
W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} .
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为
$$
(A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right),
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ．
（1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基；
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换；
（4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定子空间W的结构并找到一组基
子空间W由条件$x_3 - x_4 = 0$定义，即$x_3 = x_4$。因此W中的矩阵形如$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_3 \end{pmatrix}$。取基：$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。它们线性无关且张成W。
提示：注意基向量必须属于W，且线性无关。
步骤 2/7
目标：将基正交化得到标准正交基
使用Gram-Schmidt正交化。内积定义为$(A,B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}$。取$\alpha_1 = E_1$，$\alpha_2 = E_2 - \frac{(E_2,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1 = E_2$（因为$(E_2,E_1)=0$）。$\alpha_3 = E_3 - \frac{(E_3,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1 - \frac{(E_3,\alpha_2)}{(\alpha_2,\alpha_2)}\alpha_2 = E_3$（因为$(E_3,E_1)=0$，$(E_3,E_2)=0$）。单位化：$\|\alpha_1\|=1$，$\|\alpha_2\|=1$，$\|\alpha_3\|=\sqrt{2}$。得到标准正交基：$\beta_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\beta_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\beta_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：Gram-Schmidt正交化：$\alpha_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(v_k,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)}\alpha_i$
提示：正交化时注意内积计算，单位化时不要忘记除以模长。
步骤 3/7
目标：证明W是σ的不变子空间
对任意$X \in W$，设$X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_3 \end{pmatrix}$，则$\sigma(X) = XB = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+2x_2 & 2x_1+x_2 \\ x_3+2x_3 & 2x_3+x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+2x_2 & 2x_1+x_2 \\ 3x_3 & 3x_3 \end{pmatrix}$。可见$\sigma(X)$的$(2,1)$和$(2,2)$元素相等，故$\sigma(X) \in W$。因此W是σ的不变子空间。
公式：$\sigma(X)=XB$
提示：验证不变子空间需检查任意X∈W，σ(X)仍属于W。
步骤 4/7
目标：证明σ在W上是对称变换
对任意$X,Y \in W$，需证$(\sigma(X), Y) = (X, \sigma(Y))$。由于内积为Frobenius内积，有$(XB, Y) = \operatorname{tr}((XB)^T Y) = \operatorname{tr}(B^T X^T Y)$，而$(X, YB) = \operatorname{tr}(X^T YB)$。因为B对称，$B^T = B$，且迹循环性质：$\operatorname{tr}(B X^T Y) = \operatorname{tr}(X^T Y B)$，故相等。所以σ是W上的对称变换。
公式：$(\sigma(X),Y) = \operatorname{tr}((XB)^T Y) = \operatorname{tr}(B^T X^T Y)$，$(X,\sigma(Y)) = \operatorname{tr}(X^T Y B)$
提示：注意利用B的对称性和迹的循环性质。
步骤 5/7
目标：求σ在标准正交基下的矩阵
计算σ在基$\beta_1,\beta_2,\beta_3$下的矩阵：$\sigma(\beta_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 1\cdot\beta_1 + 2\cdot\beta_2 + 0\cdot\beta_3$；$\sigma(\beta_2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 2\cdot\beta_1 + 1\cdot\beta_2 + 0\cdot\beta_3$；$\sigma(\beta_3) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = 3\beta_3$。所以矩阵为$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(\beta_j) = \sum_i a_{ij} \beta_i$
提示：注意将结果用基线性表示，系数构成矩阵的列。
步骤 6/7
目标：求A的特征值和特征向量
特征多项式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-3)[(\lambda-1)^2 - 4] = (\lambda-3)(\lambda^2-2\lambda-3) = (\lambda-3)^2(\lambda+1)$。特征值：$\lambda_1 = 3$（二重），$\lambda_2 = -1$。求特征向量：对于$\lambda=3$，解$(3I-A)v=0$，$\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得$v_1 = (1,1,0)^T$，$v_2 = (0,0,1)^T$。对于$\lambda=-1$，解$(-I-A)v=0$，$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$，得$v_3 = (1,-1,0)^T$。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：注意二重特征值对应的特征向量需正交化，但这里已正交。
步骤 7/7
目标：将特征向量单位化并得到W的标准正交基
单位化特征向量：$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$，$u_2 = (0,0,1)^T$，$u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$。对应W中的矩阵：$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta_1+\beta_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\gamma_2 = \beta_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta_1-\beta_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。它们构成W的标准正交基，且σ在此基下的矩阵为$\operatorname{diag}(3,3,-1)$。
提示：注意将坐标向量还原为矩阵时，基的线性组合。
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