广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）
$\displaystyle a, b$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1, \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a, \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3, \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=b,
\end{array}\right.
$$
有解？在有解的情形，求一般解。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵形式：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & -3 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & b
\end{array}\right)
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要混淆。
步骤 2/8
目标：行化简：消去第一列
进行行变换：
- 第2行减去3倍第1行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & a-3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & b
\end{array}\right)
\]
- 第4行减去5倍第1行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & a-3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & b-5
\end{array}\right)
\]
提示：行变换时注意系数计算，避免算术错误。
步骤 3/8
目标：行化简：简化第二行并消去第二列
将第2行乘以-1：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3-a \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & b-5
\end{array}\right)
\]
然后第3行减去第2行，第4行加上第2行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3-a \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b-a-2
\end{array}\right)
\]
提示：注意第2行乘以-1后，常数项变为3-a，不要忘记符号。
步骤 4/8
目标：判断有解条件
方程组有解当且仅当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。由最后两行全为零行，需要对应的常数项也为零：
\[
a = 0 \quad \text{且} \quad b - a - 2 = 0 \Rightarrow b = 2.
\]
因此，当且仅当 \(a=0, b=2\) 时，方程组有解。
提示：注意：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩是线性方程组有解的充要条件。
步骤 5/8
目标：化简为行最简形
当 \(a=0, b=2\) 时，增广矩阵化为：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3
\end{array}\right)
\]
这是行阶梯形，且主元列是第1列和第2列。
提示：行最简形可以继续化简，但此处已足够求解。
步骤 6/8
目标：确定自由变量并设参数
主元变量为 \(x_1, x_2\)，自由变量为 \(x_3, x_4, x_5\)。令
\[
x_3 = c_1, \quad x_4 = c_2, \quad x_5 = c_3,
\]
其中 \(c_1, c_2, c_3\) 为任意实数。
提示：自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 7/8
目标：回代求解主元变量
由第2行：
\[
x_2 = 3 - 2c_1 - 2c_2 - 6c_3.
\]
由第1行：
\[
x_1 = 1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 = 1 - (3 - 2c_1 - 2c_2 - 6c_3) - c_1 - c_2 - c_3 = -2 + c_1 + c_2 + 5c_3.
\]
提示：回代时注意符号，避免计算错误。
步骤 8/8
目标：写出一般解
一般解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_3
\begin{pmatrix}
5 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}.
\]
提示：注意特解和基础解系的表示，确保自由变量对应位置正确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。