广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）
已知向量空间
$$
V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\},
$$
（1）求 $V$ 的一组基和维数；
（2）求 $V$ 的一组标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立方程组并求解
由向量空间的定义，$V$ 中的向量满足方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\
x_2 + x_3 + x_4 = 0
\end{cases}
$$
两式相减得 $x_1 = 0$，代入第二式得 $x_2 + x_3 + x_4 = 0$，即 $x_4 = -x_2 - x_3$。
提示：注意方程组是齐次的，解空间是线性子空间。
步骤 2/6
目标：确定自由变量并写出通解
自由变量为 $x_2, x_3$，通解为：
$$
(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, x_2, x_3, -x_2 - x_3)
$$
其中 $x_2, x_3 \in \mathbb{R}$。
提示：自由变量个数即为维数。
步骤 3/6
目标：求出一组基
令 $x_2 = 1, x_3 = 0$ 得 $\alpha_1 = (0,1,0,-1)$；
令 $x_2 = 0, x_3 = 1$ 得 $\alpha_2 = (0,0,1,-1)$。
$\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且任意解可由它们线性表示，故为 $V$ 的一组基，维数为 $2$。
提示：基的选取不唯一，但维数唯一。
步骤 4/6
目标：施密特正交化第一步
取 $\beta_1 = \alpha_1 = (0,1,0,-1)$。
提示：正交化顺序从第一个向量开始。
步骤 5/6
目标：施密特正交化第二步
计算 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$。
内积：$(\alpha_2, \beta_1) = 0\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = 1$，
$(\beta_1, \beta_1) = 0^2+1^2+0^2+(-1)^2 = 2$，
故 $\beta_2 = (0,0,1,-1) - \frac{1}{2}(0,1,0,-1) = (0, -\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$。
公式：施密特正交化公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)} \beta_i$
提示：注意内积是标准内积，计算要仔细。
步骤 6/6
目标：单位化得到标准正交基
单位化：
$\|\beta_1\| = \sqrt{2}$，$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,0,-1) = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。
$\|\beta_2\| = \sqrt{0^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，
$e_2 = \frac{1}{\|\beta_2\|} \beta_2 = \frac{2}{\sqrt{6}}(0, -\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}) = (0, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}})$。
公式：单位化公式：$e = \frac{\beta}{\|\beta\|}$
提示：单位化时注意分母有理化，但保留根号形式也可。
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