广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）
化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3} .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型表达式
给定二次型：
$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3.$$
提示：注意二次型中交叉项的系数要除以2才是矩阵中的对应元素，但这里直接配方，无需写出矩阵。
步骤 2/6
目标：对 $x_1$ 配方
将含 $x_1$ 的项集中：
$$f = x_1^2 + 2x_1(x_2+2x_3) + 3x_2^2 + 2x_2x_3.$$
配方：
$$f = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_2+2x_3)^2 + 3x_2^2 + 2x_2x_3.$$
计算展开：
$$-(x_2+2x_3)^2 = -x_2^2 -4x_2x_3 -4x_3^2,$$
所以
$$f = (x_1+x_2+2x_3)^2 + (-x_2^2-4x_2x_3-4x_3^2) + 3x_2^2 + 2x_2x_3 = (x_1+x_2+2x_3)^2 + 2x_2^2 -2x_2x_3 -4x_3^2.$$
公式：完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
提示：注意添加的项要减去，保持等式平衡。
步骤 3/6
目标：对 $x_2$ 配方
将含 $x_2$ 的项集中：
$$2x_2^2 -2x_2x_3 = 2\left(x_2^2 - x_2x_3\right).$$
配方：
$$2\left[\left(x_2 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 - \frac{1}{4}x_3^2\right] = 2\left(x_2 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 - \frac{1}{2}x_3^2.$$
代入得：
$$f = (x_1+x_2+2x_3)^2 + 2\left(x_2 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 - \frac{1}{2}x_3^2 -4x_3^2 = (x_1+x_2+2x_3)^2 + 2\left(x_2 - \frac{1}{2}x_3\right)^2 - \frac{9}{2}x_3^2.$$
公式：完全平方公式
提示：注意系数2的处理，以及常数项合并。
步骤 4/6
目标：引入新变量 $y_1,y_2,y_3$
令
$$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 + 2x_3, \\ y_2 = x_2 - \frac{1}{2}x_3, \\ y_3 = x_3, \end{cases}$$
则标准形为
$$f = y_1^2 + 2y_2^2 - \frac{9}{2}y_3^2.$$
提示：新变量必须线性无关，且变换可逆。
步骤 5/6
目标：写出非退化线性替换
将变换写成矩阵形式：
$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}.$$
系数矩阵的行列式为 $1 \neq 0$，故为非退化线性替换。
公式：线性替换的矩阵表示
提示：注意替换矩阵的逆矩阵可求，确保变换可逆。
步骤 6/6
目标：总结标准形和替换
二次型的标准形为 $y_1^2 + 2y_2^2 - \frac{9}{2}y_3^2$，所用的非退化线性替换为
$$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 + 2x_3, \\ y_2 = x_2 - \frac{1}{2}x_3, \\ y_3 = x_3. \end{cases}$$
提示：标准形不唯一，但本题要求此形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。