广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且
$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换；
（2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出线性变换在基下的矩阵
由已知条件，$\sigma(\alpha_1)=\alpha_1$，$\sigma(\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2$，$\sigma(\alpha_3)=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，因此$\sigma$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$下的矩阵为$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A$
提示：注意矩阵的列对应基像的坐标，第一列是$\sigma(\alpha_1)$的坐标$(1,0,0)^T$，第二列是$(1,1,0)^T$，第三列是$(1,1,1)^T$。
步骤 2/4
目标：判断矩阵可逆性
计算矩阵$A$的行列式：$\det(A)=1\times1\times1=1\neq0$，故$A$可逆，从而线性变换$\sigma$可逆。
公式：$\det(A)=1$
提示：上三角矩阵的行列式等于主对角元乘积。
步骤 3/4
目标：求逆矩阵
由于$A$是上三角矩阵，其逆矩阵也是上三角矩阵。设$A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix}$，由$AA^{-1}=I$解得：$a=1,d=1,f=1$；由第一行第二列：$a\cdot b + 1\cdot d =0 \Rightarrow b=-1$；由第一行第三列：$a\cdot c + 1\cdot e + 1\cdot f =0 \Rightarrow c+e+1=0$；由第二行第三列：$d\cdot e + 1\cdot f =0 \Rightarrow e+1=0 \Rightarrow e=-1$，代入得$c=0$。故$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：$AA^{-1}=I$
提示：注意逆矩阵的求解顺序，先确定对角元，再依次求解非对角元。
步骤 4/4
目标：计算线性变换$2\sigma-\sigma^{-1}$的矩阵
线性变换$2\sigma-\sigma^{-1}$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$下的矩阵为$2A - A^{-1}$。计算：$2A = \begin{pmatrix}2&2&2\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$，减去$A^{-1}$得：$\begin{pmatrix}2-1&2-(-1)&2-0\\0-0&2-1&2-(-1)\\0-0&0-0&2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&3&2\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：$2\sigma-\sigma^{-1}$的矩阵为$2A-A^{-1}$
提示：注意$\sigma^{-1}$的矩阵是$A^{-1}$，不要混淆。
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