广西民族大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccccc}x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将所有列加到第一列
将第2,3,...,n列都加到第1列，得到新的行列式：
\[
D=\left|\begin{array}{ccccc}
x+(n-1)a & a & a & \cdots & a \\
x+(n-1)a & x & a & \cdots & a \\
x+(n-1)a & a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x+(n-1)a & a & a & \cdots & x
\end{array}\right|
\]
公式：行列式性质：将一列乘以1加到另一列，行列式值不变。
提示：注意是加列，不是加行；所有列都加到第一列，第一列元素变为x+(n-1)a。
步骤 2/4
目标：提取第一列公因子
从第一列提取公因子x+(n-1)a，得到：
\[
D=[x+(n-1)a]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
1 & x & a & \cdots & a \\
1 & a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & a & a & \cdots & x
\end{array}\right|
\]
公式：行列式性质：某行（列）有公因子可提到行列式外。
提示：提取公因子时，注意只对第一列操作，其他列不变。
步骤 3/4
目标：将第一行乘以-1加到其余各行
将第1行乘以-1分别加到第2,3,...,n行，得到：
\[
D=[x+(n-1)a]\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a
\end{array}\right|
\]
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意是行变换，且第一行不变；第二行第一列变为0，第二列变为x-a，其余列因为第一行对应列是a，减去后得0。
步骤 4/4
目标：计算上三角行列式
得到上三角行列式，对角线元素为1和n-1个x-a，因此行列式值为对角线元素乘积：
\[
D=[x+(n-1)a] \cdot 1 \cdot (x-a)^{n-1} = [x+(n-1)a](x-a)^{n-1}
\]
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。
提示：注意对角线元素：第一行第一列为1，其余为x-a，共n-1个。
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