广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七、（15分）
已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换：
$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-2 & 0
\end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right),
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定基并计算σ在基下的矩阵
取基为 $E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, $E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$, $E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。计算σ作用：
$\sigma(E_{11}) = \begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix} = E_{11} - 2E_{21}$，坐标为 $(1,0,-2,0)^T$；
$\sigma(E_{12}) = \begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}E_{12} = \begin{pmatrix}0&1\\0&-2\end{pmatrix} = E_{12} - 2E_{22}$，坐标为 $(0,1,0,-2)^T$；
$\sigma(E_{21}) = \begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}E_{21} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$，坐标为 $(0,0,0,0)^T$；
$\sigma(E_{22}) = \begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$，坐标为 $(0,0,0,0)^T$。
所以σ的矩阵为 $A = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-2&0&0&0\\0&-2&0&0\end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(X)=AX$，其中 $A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&0\end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序：σ(X)是左乘，结果矩阵的列向量是基下坐标。
步骤 2/6
目标：计算τ在基下的矩阵
计算τ作用：
$\tau(E_{11}) = E_{11}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} = E_{11}+E_{12}$，坐标为 $(1,1,0,0)^T$；
$\tau(E_{12}) = E_{12}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix} = E_{11}-E_{12}$，坐标为 $(1,-1,0,0)^T$；
$\tau(E_{21}) = E_{21}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} = E_{21}+E_{22}$，坐标为 $(0,0,1,1)^T$；
$\tau(E_{22}) = E_{22}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix} = E_{21}-E_{22}$，坐标为 $(0,0,1,-1)^T$。
所以τ的矩阵为 $B = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{pmatrix}$。
公式：$\tau(X)=XB$，其中 $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$
提示：注意τ是右乘，结果矩阵的列向量是基下坐标。
步骤 3/6
目标：计算σ+τ的矩阵
线性变换的和对应矩阵相加：$\sigma+\tau$ 的矩阵为 $A+B = \begin{pmatrix}1+1&0+1&0+0&0+0\\0+1&1+(-1)&0+0&0+0\\-2+0&0+0&0+1&0+1\\0+0&-2+0&0+1&0+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\-2&0&1&1\\0&-2&1&-1\end{pmatrix}$。
公式：$(\sigma+\tau)(X)=\sigma(X)+\tau(X)$，对应矩阵相加
提示：矩阵加法对应元素相加，注意顺序。
步骤 4/6
目标：计算στ的矩阵
线性变换的复合对应矩阵乘法：$\sigma\tau$ 的矩阵为 $AB$。计算：
$AB = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-2&0&0&0\\0&-2&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot(-1)+0\cdot0+0\cdot0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$
逐元素计算得：
第一行：$(1,1,0,0)$；第二行：$(1,-1,0,0)$；第三行：$(-2,-2,0,0)$；第四行：$(-2,2,0,0)$。
所以 $AB = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\-2&-2&0&0\\-2&2&0&0\end{pmatrix}$。
公式：$(\sigma\tau)(X)=\sigma(\tau(X))$，对应矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序：AB表示先τ后σ。
步骤 5/6
目标：判断σ+τ是否可逆
计算 $\sigma+\tau$ 的矩阵行列式：
$\det(A+B) = \begin{vmatrix}2&1&0&0\\1&0&0&0\\-2&0&1&1\\0&-2&1&-1\end{vmatrix}$。按第一行展开：
$=2\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&1\\-2&1&-1\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1&0&0\\-2&1&1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 2\cdot0 -1\cdot\left(1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix} -0+0\right) = -1\cdot(1\cdot(-1-1)) = -1\cdot(-2)=2 \neq 0$。
行列式非零，故 $\sigma+\tau$ 可逆。
公式：线性变换可逆当且仅当其矩阵可逆（行列式非零）
提示：计算行列式时注意符号和子式，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：判断στ是否可逆
$\sigma\tau$ 的矩阵 $AB$ 的第三、四列全为零，所以矩阵的秩 ≤ 2 < 4，行列式为0，故不可逆。
公式：矩阵可逆当且仅当满秩（行列式非零）
提示：观察到矩阵有零列可直接判断不可逆。
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