📝 广西民族大学 2024年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．
判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．
第0题
七、（15分）
已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换：
$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-2 & 0
\end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right),
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．
已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换：
$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-2 & 0
\end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right),
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．
第0题
三、（15 分）
证明方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}=a_{1}, \\
x_{2}-x_{3}=a_{2}, \\
x_{3}-x_{4}=a_{3}, \\
x_{4}-x_{5}=a_{4}, \\
x_{5}-x_{1}=a_{5},
\end{array}\right.
$$
有解的充要条件是 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$ 。在有解的条件下，求出它的一般解．
证明方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}=a_{1}, \\
x_{2}-x_{3}=a_{2}, \\
x_{3}-x_{4}=a_{3}, \\
x_{4}-x_{5}=a_{4}, \\
x_{5}-x_{1}=a_{5},
\end{array}\right.
$$
有解的充要条件是 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$ 。在有解的条件下，求出它的一般解．
第0题
九、（15 分）
设二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0),
$$
其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
（2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0),
$$
其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
（2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
第0题
二、（15 分）
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n}\end{array}\right|$ ．
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n}\end{array}\right|$ ．
第0题
五、（15 分）
已知二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t x_{1}^{2}+t x_{2}^{2}+t x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3},
$$
（1）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是正定的；
（2）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是负定的．
已知二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t x_{1}^{2}+t x_{2}^{2}+t x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3},
$$
（1）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是正定的；
（2）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是负定的．
第0题
八、（15 分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．
第0题
六、（15 分）
已知集合
$$
W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\},
$$
（1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
已知集合
$$
W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\},
$$
（1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
第0题
十、（15 分）
已知
$$
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=(1,2,1,-2), & \alpha_{2}=(2,3,1,0), & \alpha_{3}=(1,2,2,-3), \\
\beta_{1}=(1,1,1,1), & \beta_{2}=(1,0,1,-1), & \beta_{3}=(1,3,0,-4),
\end{array}
$$
（1）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)+L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数；
（2）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \cap L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数。
已知
$$
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=(1,2,1,-2), & \alpha_{2}=(2,3,1,0), & \alpha_{3}=(1,2,2,-3), \\
\beta_{1}=(1,1,1,1), & \beta_{2}=(1,0,1,-1), & \beta_{3}=(1,3,0,-4),
\end{array}
$$
（1）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)+L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数；
（2）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \cap L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数。
第0题
四、（15 分）
设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
第2题
2．考毕，须将试题和答卷放入试题袋内密封后加贴封条，并在封条与试卷袋骑缝处签名。