广西民族大学 2024年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=t x_1^2+t x_2^2+t x_3^2-4x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} t & -2 & -2 \\ -2 & t & 2 \\ -2 & 2 & t \end{pmatrix}$。

实二次型 $f$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式大于0。即 $\Delta_1>0,\ \Delta_2>0,\ \Delta_3>0$。

一阶顺序主子式 $\Delta_1 = t > 0$。 二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} t & -2 \\ -2 & t \end{vmatrix} = t^2 - 4 > 0$，解得 $|t|>2$。结合 $t>0$，得 $t>2$。

三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} t & -2 & -2 \\ -2 & t & 2 \\ -2 & 2 & t \end{vmatrix}$。按第一行展开： $\det A = t \begin{vmatrix} t & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -2 & t \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -2 & t \\ -2 & 2 \end{vmatrix}$ $= t(t^2-4) + 2[(-2)t - 2(-2)] - 2[(-2)2 - t(-2)]$ $= t(t^2-4) + 2(-2t+4) - 2(-4+2t)$ $= t^3-4t -4t+8 +8 -4t = t^3 -12t +16$。 因式分解：$t^3-12t+16 = (t-2)^2(t+4)$。

要求 $\Delta_1>0,\ \Delta_2>0,\ \Delta_3>0$。由 $\Delta_1>0$ 得 $t>0$；由 $\Delta_2>0$ 得 $t>2$ 或 $t<-2$，与 $t>0$ 交集为 $t>2$；由 $\Delta_3>0$ 得 $(t-2)^2(t+4)>0$，即 $t>-4$ 且 $t\neq2$。三者交集为 $t>2$。因此当 $t>2$ 时，$f$ 正定。

实二次型 $f$ 负定当且仅当矩阵 $A$ 的奇数阶顺序主子式小于0，偶数阶顺序主子式大于0。即 $\Delta_1<0,\ \Delta_2>0,\ \Delta_3<0$。

由 $\Delta_1<0$ 得 $t<0$；由 $\Delta_2>0$ 得 $|t|>2$，结合 $t<0$ 得 $t<-2$；由 $\Delta_3<0$ 得 $(t-2)^2(t+4)<0$，由于 $(t-2)^2\ge0$，所以 $t+4<0$，即 $t<-4$。三者交集为 $t<-4$。因此当 $t<-4$ 时，$f$ 负定。

（1）当 $t>2$ 时，二次型 $f$ 正定； （2）当 $t<-4$ 时，二次型 $f$ 负定。