广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）
已知集合
$$
W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\},
$$
（1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证零向量属于W
零向量为 $(0,0,\dots,0)$，其第一个分量为0，因此属于 $W$。
提示：注意零向量的定义：所有分量均为0。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
任取 $\alpha = (0, a_2, \dots, a_n), \beta = (0, b_2, \dots, b_n) \in W$，则 $\alpha + \beta = (0, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n)$，第一个分量仍为0，故 $\alpha+\beta \in W$。
提示：加法封闭性要求两个向量的和仍在集合中，注意第一个分量始终为0。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
任取 $k \in R$，$\alpha \in W$，则 $k\alpha = (0, k a_2, \dots, k a_n)$，第一个分量为0，故 $k\alpha \in W$。
提示：数乘封闭性要求任意标量乘向量仍在集合中，注意标量可以是任意实数。
步骤 4/7
目标：总结子空间证明
由以上三点（零向量、加法封闭、数乘封闭）可知 $W$ 是 $R^n$ 的子空间。
提示：子空间判定定理：非空子集对加法和数乘封闭且包含零向量。
步骤 5/7
目标：寻找W中向量的表示形式
$W$ 中任意向量可表示为 $(0, x_2, x_3, \dots, x_n) = x_2 (0,1,0,\dots,0) + x_3 (0,0,1,\dots,0) + \cdots + x_n (0,0,\dots,0,1)$。
提示：注意第一个分量固定为0，因此自由变量只有 $n-1$ 个。
步骤 6/7
目标：构造一组基
令 $e_2 = (0,1,0,\dots,0), e_3 = (0,0,1,\dots,0), \dots, e_n = (0,0,\dots,0,1)$，则 $\{e_2, e_3, \dots, e_n\}$ 线性无关且生成 $W$，故为 $W$ 的一组基。
提示：基的向量必须线性无关且能生成整个空间，这里每个向量只有一个非零分量（除第一个外）。
步骤 7/7
目标：确定维数
基中向量个数为 $n-1$，因此 $\dim W = n-1$。
提示：维数等于基中向量的个数，注意不要误以为是 $n$。
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