广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）
设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：整理方程
由 $A^{*}X = A^{-1} + 2X$ 移项得 $A^{*}X - 2X = A^{-1}$，即 $(A^{*} - 2I)X = A^{-1}$。
提示：注意移项时符号变化，不要漏掉负号。
步骤 2/7
目标：计算行列式
计算 $A$ 的行列式：
$\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1\cdot((-1)\cdot1 - 1\cdot1) + (-1)\cdot((-1)\cdot(-1) - 1\cdot1) = 1\cdot(1+1) - 1\cdot(-1-1) -1\cdot(1-1) = 2 + 2 - 0 = 4$。
公式：行列式展开公式
提示：计算时注意符号，尤其是代数余子式的符号。
步骤 3/7
目标：利用伴随矩阵性质
由 $A^{*} = \det(A) \cdot A^{-1} = 4A^{-1}$，代入方程得 $4A^{-1}X = A^{-1} + 2X$。
公式：$A^{*} = \det(A) A^{-1}$
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系仅当 $A$ 可逆时成立，此处 $\det A = 4 \neq 0$，故可逆。
步骤 4/7
目标：左乘A消去逆矩阵
两边左乘 $A$：$4X = I + 2AX$，移项得 $4X - 2AX = I$，即 $(4I - 2A)X = I$。
提示：左乘 $A$ 时注意顺序，因为矩阵乘法不交换。
步骤 5/7
目标：计算矩阵B
令 $B = 4I - 2A$，计算：
$B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵减法要逐元素相减。
步骤 6/7
目标：提取公因子并求逆
提取公因子2：$B = 2\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。令 $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，先求 $C^{-1}$。
计算 $\det C = 4$，伴随矩阵 $C^{*} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$，故 $C^{-1} = \frac{1}{4} C^{*} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$。
公式：$C^{-1} = \frac{1}{\det C} C^{*}$
提示：求伴随矩阵时，注意代数余子式的符号和转置。
步骤 7/7
目标：得到X
由于 $B = 2C$，则 $B^{-1} = \frac{1}{2} C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 0 & 1/4 \\ 1/4 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \end{pmatrix}$。
由 $(4I - 2A)X = I$ 得 $X = B^{-1}$，故 $X = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
公式：若 $B = kC$，则 $B^{-1} = \frac{1}{k} C^{-1}$
提示：注意常数因子取倒数。
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