广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1
\end{array}\right],
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出线性变换在基下的矩阵
设线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的列对应基向量的像。
步骤 2/7
目标：求值域：将矩阵化为行阶梯形
对 $A$ 进行初等行变换：
$$ A \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & -6 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
提示：行变换不改变列空间，但注意只进行行变换。
步骤 3/7
目标：确定值域的维数和基
行阶梯形有2个非零行，秩为2，所以值域维数为2。取原矩阵的第1、2列作为极大无关组，则值域的一组基为：
$$ \sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 3\varepsilon_3, \quad \sigma(\varepsilon_2) = 2\varepsilon_1 + \varepsilon_2. $$
提示：值域由列向量生成，基应取原矩阵的列，而不是行变换后的列。
步骤 4/7
目标：写出值域的表达式
因此，$\sigma V = \operatorname{span}\{\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 3\varepsilon_3, \ 2\varepsilon_1 + \varepsilon_2\}$。
提示：span表示生成子空间。
步骤 5/7
目标：求核：建立齐次线性方程组
核是齐次线性方程组 $A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$ 的解空间。由行简化阶梯形：
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0. $$
提示：核是解空间，注意是齐次方程组。
步骤 6/7
目标：求解方程组得到基础解系
由方程组得 $x_2 = \frac{2}{3}x_3$，$x_1 = -2x_2 + x_3 = -\frac{4}{3}x_3 + x_3 = -\frac{1}{3}x_3$。取 $x_3 = 3$，得基础解系 $( -1, 2, 3 )^T$。
提示：自由变量取非零值避免分数，通常取最小公倍数。
步骤 7/7
目标：写出核的基和表达式
核的基为：$-\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 3\varepsilon_3$。因此，$\sigma^{-1}(0) = \operatorname{span}\{-\varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + 3\varepsilon_3\}$。
提示：注意核的基向量用基表示。
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