广西民族大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）
证明方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}=a_{1}, \\
x_{2}-x_{3}=a_{2}, \\
x_{3}-x_{4}=a_{3}, \\
x_{4}-x_{5}=a_{4}, \\
x_{5}-x_{1}=a_{5},
\end{array}\right.
$$
有解的充要条件是 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$ 。在有解的条件下，求出它的一般解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：列出方程组并求和
给定方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 = a_1, \\
x_2 - x_3 = a_2, \\
x_3 - x_4 = a_3, \\
x_4 - x_5 = a_4, \\
x_5 - x_1 = a_5.
\end{cases}
\]
将五个方程相加，左边为 $(x_1 - x_2) + (x_2 - x_3) + (x_3 - x_4) + (x_4 - x_5) + (x_5 - x_1) = 0$，右边为 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$，因此得到 $0 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$，即 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 0$。
公式：\sum_{i=1}^{5} a_i = 0
提示：注意左边各项抵消，不要漏项或计算错误。
步骤 2/6
目标：必要性证明
由第一步可知，若方程组有解，则五个方程相加后左边恒为0，右边为 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$，因此必须有 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 0$。所以该条件是方程组有解的必要条件。
提示：必要性证明只需从有解推出条件成立，注意逻辑方向。
步骤 3/6
目标：充分性证明：设定自由未知量
假设 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 0$。取 $x_5 = t$ 为自由未知量（$t$ 为任意常数），然后从后向前依次解出其他变量。
提示：自由未知量的选择不是唯一的，但通常选最后一个变量。
步骤 4/6
目标：逐步回代求解
由第4个方程 $x_4 - x_5 = a_4$ 得 $x_4 = x_5 + a_4 = t + a_4$。
由第3个方程 $x_3 - x_4 = a_3$ 得 $x_3 = x_4 + a_3 = t + a_4 + a_3$。
由第2个方程 $x_2 - x_3 = a_2$ 得 $x_2 = x_3 + a_2 = t + a_4 + a_3 + a_2$。
由第1个方程 $x_1 - x_2 = a_1$ 得 $x_1 = x_2 + a_1 = t + a_4 + a_3 + a_2 + a_1$。
提示：注意回代顺序，不要混淆下标。
步骤 5/6
目标：验证第五个方程
将求得的 $x_1$ 和 $x_5$ 代入第5个方程 $x_5 - x_1 = a_5$：
左边 = $t - (t + a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = -(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)$。
由条件 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 0$ 得 $-(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = a_5$，因此方程成立。所以方程组有解，充分性得证。
提示：验证时务必使用条件，否则无法成立。
步骤 6/6
目标：写出一般解
在有解的条件下，方程组的一般解为：
\[
\begin{cases}
x_1 = t + a_1 + a_2 + a_3 + a_4, \\
x_2 = t + a_2 + a_3 + a_4, \\
x_3 = t + a_3 + a_4, \\
x_4 = t + a_4, \\
x_5 = t,
\end{cases}
\]
其中 $t$ 为任意常数。
提示：注意解的表达形式，自由参数 $t$ 可以取任意实数。
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