新疆大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（10 分）求一个 3 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 整除，而 $\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{2}$ 整除．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定多项式形式
设所求三次多项式为 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，其中 $a, b, c, d$ 为待定系数。
提示：注意三次多项式的一般形式，系数不能遗漏。
步骤 2/6
目标：利用整除条件转化为方程
由 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^2$ 整除，可知 $x=1$ 是 $f(x)+1$ 的二重根，故 $f(1)+1=0$ 且 $f'(1)=0$。同理，由 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^2$ 整除，得 $f(-1)-1=0$ 且 $f'(-1)=0$。
公式：若多项式 $g(x)$ 能被 $(x-a)^2$ 整除，则 $g(a)=0$ 且 $g'(a)=0$。
提示：注意二重根的条件：函数值和一阶导数均为零。
步骤 3/6
目标：计算函数值和导数值
计算 $f(1)=a+b+c+d$，$f(-1)=-a+b-c+d$；求导得 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$，故 $f'(1)=3a+2b+c$，$f'(-1)=3a-2b+c$。
提示：求导时注意系数正确。
步骤 4/6
目标：建立方程组
根据条件得到方程组：
\begin{cases}
a+b+c+d = -1 \quad (1) \\
3a+2b+c = 0 \quad (2) \\
-a+b-c+d = 1 \quad (3) \\
3a-2b+c = 0 \quad (4)
\end{cases}
提示：注意符号，特别是(3)式中的负号。
步骤 5/6
目标：解方程组求系数
由(2)和(4)相减得 $4b=0$，故 $b=0$。代入(2)得 $3a+c=0$，即 $c=-3a$。将 $b=0$，$c=-3a$ 代入(1)和(3)：
(1): $a-3a+d=-1 \Rightarrow -2a+d=-1$；
(3): $-a-(-3a)+d=1 \Rightarrow 2a+d=1$。
解此二元一次方程组：两式相加得 $2d=0 \Rightarrow d=0$；代入 $2a+d=1$ 得 $2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$；则 $c=-3\times\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$。
提示：解方程组时注意消元顺序，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：写出多项式并验证
因此 $f(x)=\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$。验证：$f(1)+1=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0$，$f'(1)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$；$f(-1)-1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1=0$，$f'(-1)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$，满足条件。
提示：验证是确保答案正确的重要步骤。
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