📝 新疆大学 2026年高等代数真题

1．（10 分）求一个 3 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 整除，而 $\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{2}$ 整除．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明：
（1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约．
（2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

3．（10 分）计算 $n$ 阶行列式的值：

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
1+a & 2 & \cdots & n \\
1 & 2+a & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & \cdots & n+a
\end{array}\right| .
$$

4．（10 分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是正定阵，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 是任意 $n$ 个非零实数，证明：矩阵 $\displaystyle B=\left(a_{i j} b_{i} b_{j}\right)$ 也是正定阵。

5．（10 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,0,0), \alpha_{2}=(4,1,4,0), \alpha_{3}=(1,0,2,0), \alpha_{4}$ 是一个非零的 4 维向量，证明：若向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性相关．

6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶整数矩阵（即 $\displaystyle A, B$ 的元素都是整数），且 $\displaystyle A B=E-A$ ，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵。
（1）（7 分）求证：$\displaystyle |A|= \pm 1$ ．
（2）（8 分）设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A$ ．

7．（15 分）已知如下非齐次线性方程组有三个线性无关的解．

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\
5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\
a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3
\end{array}\right.
$$

（1）（8 分）记系数矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle r(A)=2$ ．
（2）（ 7 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求方程组的通解．

8．（20 分）设 $V$ 是定义在实数域上的所有函数所组成的线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 是偶函数构成的集合，$\displaystyle V_{2}$ 是奇函数构成的集合．证明：
（1）（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 均是 $V$ 的子空间．
（2）（10 分）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

9．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，且 $\displaystyle A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=O$ ．
（1）（10 分）证明：矩阵 $A$ 的特征值一个为 1 ，另一个为 -1 ．
（2）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．

10．（15 分）设复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）（ 7 分）求矩阵 $A$ 的若尔当标准型矩阵．
（2）（8 分）证明：不存在矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。
（1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．