新疆大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．（10 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,0,0), \alpha_{2}=(4,1,4,0), \alpha_{3}=(1,0,2,0), \alpha_{4}$ 是一个非零的 4 维向量，证明：若向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性相关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知向量组的前三个向量
已知 $\alpha_1=(2,1,0,0), \alpha_2=(4,1,4,0), \alpha_3=(1,0,2,0)$，且 $\alpha_4$ 是非零4维向量。首先判断 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的线性相关性。设 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，得到方程组：
$$
\begin{cases}
2k_1+4k_2+k_3=0 \\
k_1+k_2=0 \\
4k_2+2k_3=0 \\
0=0
\end{cases}
$$
由第二式得 $k_1=-k_2$，代入第一式得 $2(-k_2)+4k_2+k_3=2k_2+k_3=0$，即 $k_3=-2k_2$。代入第三式得 $4k_2+2(-2k_2)=0$，恒成立。取 $k_2=1$，则 $k_1=-1,k_3=-2$，得到非零解，故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关。
提示：注意方程组中第四个分量恒为0，只需考虑前三个方程。
步骤 2/6
目标：确定前三个向量的秩
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，且 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 显然线性无关（因为对应分量不成比例），所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的极大线性无关组含有2个向量，即秩为2。
提示：验证 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关：若 $c_1\alpha_1+c_2\alpha_2=0$，则 $2c_1+4c_2=0, c_1+c_2=0$，解得 $c_1=c_2=0$。
步骤 3/6
目标：分析包含 $\alpha_4$ 的整个向量组的秩
考虑向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的秩为2，而 $\alpha_4$ 是非零向量，可能独立于该2维子空间，也可能被前三个线性表示。但无论如何，整个向量组的秩最多为3（因为前三个已经相关，最多再增加一个独立向量）。因此，$\operatorname{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \leq 3$。
提示：注意：$\alpha_4$ 是非零的4维向量，但前三个向量张成的子空间是2维的，所以 $\alpha_4$ 可能不在其中，从而秩为3；也可能在其中，秩仍为2。但无论哪种情况，秩都不超过3。
步骤 4/6
目标：利用线性表示的性质
已知向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性表示。根据线性代数理论，若一个向量组可由另一个向量组线性表示，则前者的秩不超过后者的秩。因此，
$$
\operatorname{rank}(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4) \leq \operatorname{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \leq 3.
$$
公式：若向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示，则 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A)$。
提示：这是线性表示的基本性质，注意秩的不等式方向。
步骤 5/6
目标：判断 $\beta$ 向量组的线性相关性
由于 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 是4个向量，而它们的秩不超过3，小于向量的个数4，因此这4个向量必然线性相关。
公式：向量组线性相关的充要条件是秩小于向量个数。
提示：注意：秩小于向量个数是线性相关的充分必要条件，这里秩≤3<4，所以线性相关。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 线性相关。
提示：证明完成，注意逻辑链条：前三个向量相关→整个α组秩≤3→β组秩≤3→β组线性相关。
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