新疆大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶整数矩阵（即 $\displaystyle A, B$ 的元素都是整数），且 $\displaystyle A B=E-A$ ，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵。
（1）（7 分）求证：$\displaystyle |A|= \pm 1$ ．
（2）（8 分）设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由已知等式推导出矩阵关系
已知 $AB = E - A$，移项得 $AB + A = E$，即 $A(B + E) = E$。
公式：A(B+E)=E
提示：注意移项时符号变化，不要遗漏单位矩阵。
步骤 2/7
目标：得出A可逆且逆矩阵为B+E
由 $A(B+E)=E$ 可知 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = B+E$。
公式：A^{-1}=B+E
提示：逆矩阵的定义：若 $AB=E$，则 $A^{-1}=B$。
步骤 3/7
目标：利用整数矩阵性质证明行列式为±1
由于 $A$ 和 $B$ 都是整数矩阵，$B+E$ 也是整数矩阵，故 $A^{-1}$ 为整数矩阵。因此 $|A|$ 和 $|A^{-1}|$ 都是整数。又 $|A| \cdot |A^{-1}| = 1$，所以 $|A| = \pm 1$。
公式：|A|\cdot|A^{-1}|=1
提示：整数矩阵的行列式为整数，且互为逆矩阵的行列式乘积为1。
步骤 4/7
目标：代入B的具体值计算B+E
已知 $B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}$，则 $B+E = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：单位矩阵E是对角线为1，其余为0的矩阵。
步骤 5/7
目标：设逆矩阵形式并利用下三角性质
设 $C = B+E$，则 $C$ 是下三角矩阵，其逆也是下三角矩阵，且对角线元素为 $-1$ 的倒数，即 $-1$。设 $C^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ x & -1 & 0 \\ y & z & -1 \end{pmatrix}$。
提示：下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵，且对角线元素为原对角线元素的倒数。
步骤 6/7
目标：利用矩阵乘法方程求解未知数
由 $C C^{-1} = E$ 得：
第一行自动满足。
第二行：$1 \cdot (-1) + (-1) \cdot x = 0 \Rightarrow -1 - x = 0 \Rightarrow x = -1$。
第三行：$2 \cdot (-1) + 3 \cdot x + (-1) \cdot y = 0 \Rightarrow -2 + 3(-1) - y = 0 \Rightarrow -5 - y = 0 \Rightarrow y = -5$；
且 $2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot z = 0 \Rightarrow -3 - z = 0 \Rightarrow z = -3$。
公式：C C^{-1}=E
提示：矩阵乘法时注意行与列对应相乘，尤其注意符号。
步骤 7/7
目标：写出A的表达式
因此 $A = C^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -5 & -3 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果应检查是否满足 $AB = E - A$。
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