新疆大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（10 分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是正定阵，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 是任意 $n$ 个非零实数，证明：矩阵 $\displaystyle B=\left(a_{i j} b_{i} b_{j}\right)$ 也是正定阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正定矩阵的定义
正定矩阵的定义：一个$n$阶实对称矩阵$A$称为正定矩阵，如果对于任意非零列向量$x\in\mathbb{R}^n$，都有$x^T A x > 0$。
公式：x^T A x > 0, \forall x \neq 0
提示：注意正定矩阵首先是对称矩阵，但题目中未明确说明$A$对称，通常正定矩阵隐含对称性。
步骤 2/5
目标：引入对角矩阵表示$B$
设$D = \operatorname{diag}(b_1, b_2, \dots, b_n)$，即$D$是以$b_1,\dots,b_n$为对角元素的对角矩阵。由于$b_i$非零，$D$可逆。计算$DAD$的$(i,j)$元素：$(DAD)_{ij} = \sum_{k,l} D_{ik} a_{kl} D_{lj} = b_i a_{ij} b_j = a_{ij} b_i b_j$，因此$B = DAD$。
公式：B = DAD
提示：注意矩阵乘法顺序：$DAD$，不是$D^TAD$，因为$D$是对称的。
步骤 3/5
目标：利用正定矩阵的性质证明$B$正定
对任意非零向量$y \in \mathbb{R}^n$，令$x = Dy$。由于$D$可逆，$x \neq 0$。计算二次型：$y^T B y = y^T (DAD) y = (Dy)^T A (Dy) = x^T A x > 0$（因为$A$正定且$x\neq0$）。因此$B$满足正定性。
公式：y^T B y = x^T A x > 0
提示：注意$y^T D A D y = (D y)^T A (D y)$成立是因为$D$对称。
步骤 4/5
目标：验证$B$的对称性
由于$A$正定，$A$对称，即$a_{ij}=a_{ji}$。那么$b_{ij}=a_{ij}b_i b_j = a_{ji}b_j b_i = b_{ji}$，所以$B$对称。因此$B$是正定矩阵。
公式：b_{ij}=b_{ji}
提示：正定矩阵必须对称，需要验证。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$B$是对称矩阵且二次型$y^T B y > 0$对任意非零$y$成立，故$B$是正定矩阵。
提示：注意$b_i$非零的条件保证了$D$可逆，从而$x\neq0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。