新疆大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明：
（1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约．
（2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 $x^n-2$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约
考虑多项式 $x^n-2$，其系数为 $1,0,\ldots,0,-2$。取素数 $p=2$，则 $p$ 整除除首项系数 $1$ 外的所有系数（即 $0$ 和 $-2$），且 $p^2=4$ 不整除常数项 $-2$。由 Eisenstein 判别法，$x^n-2$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。
公式：Eisenstein 判别法：设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$，若存在素数 $p$ 使得 $p\nmid a_n$，$p\mid a_i$（$i
提示：注意 $p$ 必须整除所有低次项系数，且 $p^2$ 不整除常数项。这里 $p=2$ 满足条件。
步骤 2/3
目标：假设 $\sqrt[n]{2}$ 是 $f(x)$ 的实根
假设 $\sqrt[n]{2}$ 是 $f(x)$ 的实根，即 $f(\sqrt[n]{2})=0$。由于 $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 且次数 $m
提示：注意 $f(x)$ 的次数 $m$ 小于 $n$，这是后续矛盾的关键。
步骤 3/3
目标：利用极小多项式性质导出矛盾
因为 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约且以 $\sqrt[n]{2}$ 为根，所以 $g(x)$ 是 $\sqrt[n]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式（可能差一个非零常数倍）。因此 $\sqrt[n]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式次数为 $n$。但 $f(x)$ 也是 $\mathbb{Q}$ 上以 $\sqrt[n]{2}$ 为根的多项式，次数 $m
公式：极小多项式性质：若 $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}$ 上不可约多项式 $p(x)$ 的根，则 $p(x)$ 是 $\alpha$ 的极小多项式，且任何以 $\alpha$ 为根的多项式次数不小于 $\deg p$。
提示：注意极小多项式是次数最小的首一多项式，这里 $g(x)$ 不可约，因此是极小多项式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。