新疆大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（10 分）计算 $n$ 阶行列式的值：
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
1+a & 2 & \cdots & n \\
1 & 2+a & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & \cdots & n+a
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将各列加到第一列
将行列式 $D_n$ 的第 $2,3,\dots,n$ 列都加到第 $1$ 列，得到新的行列式：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+a+2+\cdots+n & 2 & \cdots & n \\
1+2+a+\cdots+n & 2+a & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1+2+\cdots+n+a & 2 & \cdots & n+a
\end{vmatrix}.$$
提示：注意列加法时，第一列每个元素都变成了原第一列元素加上其他列对应元素的和。
步骤 2/5
目标：简化第一列元素
记 $S = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，则第一列每个元素都变为 $S+a$，因此
$$D_n = \begin{vmatrix}
S+a & 2 & \cdots & n \\
S+a & 2+a & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
S+a & 2 & \cdots & n+a
\end{vmatrix}.$$
公式：S = \frac{n(n+1)}{2}
提示：确保正确计算等差数列和，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：将第一行乘以-1加到其他行
将第 $1$ 行的 $(-1)$ 倍分别加到第 $2,3,\dots,n$ 行，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
S+a & 2 & \cdots & n \\
0 & a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a
\end{vmatrix}.$$
提示：注意行变换时，第一行元素不变，其他行第一列变为0，对角线元素变为a，非对角线元素变为0。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
所得行列式为上三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积：
$$D_n = (S+a) \cdot a^{n-1}.$$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素乘积
提示：注意主对角线元素：第一行第一列为S+a，其余对角线元素为a，共n-1个a。
步骤 5/5
目标：代入S并化简
将 $S = \frac{n(n+1)}{2}$ 代入，得到最终结果：
$$D_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}+a\right) a^{n-1}.$$
提示：最终结果可以写成 $a^{n-1}\left(\frac{n(n+1)}{2}+a\right)$。
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