新疆大学 2026年高等代数第7题

设方程组有三个线性无关的解 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，则 $\alpha_2-\alpha_1$ 和 $\alpha_3-\alpha_1$ 是导出组 $Ax=0$ 的两个线性无关的解，因此导出组的基础解系至少包含2个解向量，即 $n - r(A) \geq 2$。由于 $n=4$，得 $r(A) \leq 2$。又前两个方程的系数向量 $(1,1,1,1)$ 和 $(3,2,4,-1)$ 线性无关，故 $r(A) \geq 2$。因此 $r(A)=2$。

增广矩阵为 $$\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -1 & 0 \\ 5 & 3 & 7 & -3 & 1 \\ a & 1 & 5 & b & 3 \end{pmatrix}.$$ 进行行变换：$r_2-3r_1$，$r_3-5r_1$，$r_4-ar_1$，得 $$\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -8 & 6 \\ 0 & 1-a & 5-a & b-a & 3+a \end{pmatrix}.$$

进行 $r_3-2r_2$，$r_4+(1-a)r_2$，得 $$\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6-2a & b+3a-4 & 6-2a \end{pmatrix}.$$

由于 $r(A)=2$，最后一行必须全为零，因此 $$\begin{cases} 6-2a = 0 \\ b+3a-4 = 0 \\ 6-2a = 0 \end{cases}$$ 解得 $a=3$，$b=-5$。此时常数项也为0，满足相容性。

代入 $a=3,b=-5$，增广矩阵化为 $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 进行 $r_1+r_2$，$r_2 \times (-1)$，得 $$\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

对应方程组为 $$\begin{cases} x_1 + 2x_3 - 3x_4 = 2 \\ x_2 - x_3 + 4x_4 = -3 \end{cases}.$$ 取 $x_3,x_4$ 为自由变量，令 $x_3=c_1$，$x_4=c_2$，得 $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2c_1 + 3c_2 \\ -3 + c_1 - 4c_2 \\ c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$其中 $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$。