新疆大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $V$ 是定义在实数域上的所有函数所组成的线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 是偶函数构成的集合，$\displaystyle V_{2}$ 是奇函数构成的集合．证明：
（1）（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 均是 $V$ 的子空间．
（2）（10 分）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证零函数属于子空间
首先，零函数 $0(x)=0$ 满足 $0(-x)=0=0(x)$，因此 $0 \in V_1$；同时 $0(-x)=0=-0(x)$，因此 $0 \in V_2$。所以零函数同时属于两个集合。
提示：注意零函数既是偶函数也是奇函数，这是子空间非空的必要条件。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
对于 $V_1$：任取 $f,g \in V_1$，则 $f(-x)=f(x), g(-x)=g(x)$，于是 $(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$，故 $f+g \in V_1$。
对于 $V_2$：任取 $f,g \in V_2$，则 $f(-x)=-f(x), g(-x)=-g(x)$，于是 $(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x)$，故 $f+g \in V_2$。
提示：加法封闭性依赖于函数逐点运算的定义，注意符号处理。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
对于 $V_1$：任取 $f \in V_1$ 和实数 $k$，则 $(kf)(-x)=k f(-x)=k f(x)=(kf)(x)$，故 $kf \in V_1$。
对于 $V_2$：任取 $f \in V_2$ 和实数 $k$，则 $(kf)(-x)=k f(-x)=k(-f(x))=-(kf)(x)$，故 $kf \in V_2$。
提示：数乘封闭性同样依赖于逐点运算，注意奇函数数乘后仍为奇函数。
步骤 4/7
目标：证明子空间结论
由以上三步，$V_1$ 和 $V_2$ 都满足子空间的三个条件（包含零元、加法封闭、数乘封闭），因此 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间。
提示：子空间判定定理：非空子集对加法和数乘封闭即为子空间。
步骤 5/7
目标：证明交为零空间
设 $f \in V_1 \cap V_2$，则对任意 $x$，有 $f(-x)=f(x)$ 且 $f(-x)=-f(x)$，因此 $f(x)=-f(x)$，即 $2f(x)=0$，故 $f(x)=0$。所以 $f$ 是零函数，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意交集中的函数同时满足偶函数和奇函数性质，导致函数恒为零。
步骤 6/7
目标：证明和等于全空间
对任意 $f \in V$，定义 $g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$，$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$。则 $g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)$，故 $g \in V_1$；$h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-h(x)$，故 $h \in V_2$；且 $f(x)=g(x)+h(x)$，所以 $f=g+h$。因此 $V = V_1 + V_2$。
公式：$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$, $h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
提示：这是将任意函数分解为偶函数和奇函数的标准方法，注意分母2不能漏。
步骤 7/7
目标：直和结论
由 $V = V_1 + V_2$ 和 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和等于全空间以及交为零空间。
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