武汉理工大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
1+b_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+b_{2} & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 1+b_{3} & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1+b_{n}
\end{array}\right|\left(b_{i} \neq 0, i=1,2, \cdots, n\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将第2至n列减去第1列
将行列式 $D_n$ 的第 $2,3,\dots,n$ 列都减去第1列，得到：
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1+b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & b_n
\end{vmatrix}.
$$
提示：注意：第1列保持不变，其他列减去第1列时，第1行元素变为0（除了第1列）。
步骤 2/6
目标：按第1行展开行列式
按第1行展开，得：
$$
D_n = (1+b_1) \begin{vmatrix}
b_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & b_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & b_n
\end{vmatrix} + \sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} \cdot 0 \cdot M_{1j} = (1+b_1) b_2 b_3 \cdots b_n.
$$
但此结果仅当 $b_i \neq 0$ 时成立，且不对称。
公式：行列式按行展开公式
提示：注意：第1行除第1列外均为0，因此只有第一项非零。
步骤 3/6
目标：采用更通用的方法：第1行乘以-1加到其余各行
将第1行乘以 $-1$ 加到其余各行，得：
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1+b_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
-b_1 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\
-b_1 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-b_1 & 0 & 0 & \cdots & b_n
\end{vmatrix}.
$$
提示：注意：第1行不变，其余各行第1列变为 $-b_1$，对角线元素变为 $b_i$。
步骤 4/6
目标：将第2至n列加到第1列
将第 $2,3,\dots,n$ 列都加到第1列，得：
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1+b_1 + \sum_{i=2}^n 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & b_n
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
n + b_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & b_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & b_n
\end{vmatrix}.
$$
提示：注意：第1列元素变为 $n+b_1$，其余列不变。
步骤 5/6
目标：计算上三角行列式
此时行列式为上三角形式，直接等于对角线元素的乘积：
$$
D_n = (n+b_1) b_2 b_3 \cdots b_n.
$$
但此结果不对称，因为第1行特殊。实际上，由于行列式对称，最终结果应为对称形式。
公式：上三角行列式等于对角线元素乘积
提示：注意：此结果仅当 $b_i \neq 0$ 时成立，且形式不对称。
步骤 6/6
目标：利用对称性得到最终结果
通过观察或递推，可得对称形式：
$$
D_n = \left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{b_i}\right) \prod_{i=1}^n b_i.
$$
验证：$n=1$ 时，$D_1 = 1+b_1 = b_1(1+1/b_1)$；$n=2$ 时，$D_2 = (1+b_1)(1+b_2)-1 = b_1b_2 + b_1 + b_2 = b_1b_2(1+1/b_1+1/b_2)$。
公式：行列式结果公式
提示：注意：$b_i \neq 0$，且结果对称。
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