武汉理工大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 4 & 0 & 0 \\
2 & 6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right)
$$
若 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{4} A\right)^{*}\right]^{-1} B A^{-1}=\frac{1}{2} A B+6 E$ ，求 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算矩阵A的行列式
矩阵$A$是分块对角矩阵，$A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$，其中$A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$，$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$。计算$\det(A_1)=2\cdot6-4\cdot2=4$，$\det(A_2)=0\cdot0-4\cdot(-2)=8$，所以$\det(A)=\det(A_1)\det(A_2)=4\cdot8=32$。
公式：分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积
提示：注意分块对角矩阵的行列式计算方法，不要直接展开4阶行列式。
步骤 2/7
目标：化简伴随矩阵的逆
对于可逆矩阵$M$，有$M^* = \det(M) M^{-1}$，且$(M^*)^{-1} = \frac{1}{\det(M)} M$。令$M = \frac{1}{4}A$，则$\det(M) = \left(\frac{1}{4}\right)^4 \det(A) = \frac{1}{256} \cdot 32 = \frac{1}{8}$。所以$\left(\frac{1}{4}A\right)^* = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{1}{4}A\right)^{-1} = \frac{1}{8} \cdot 4 A^{-1} = \frac{1}{2} A^{-1}$。因此$\left[\left(\frac{1}{4}A\right)^*\right]^{-1} = \left(\frac{1}{2} A^{-1}\right)^{-1} = 2A$。
公式：$M^* = \det(M) M^{-1}$，$(M^*)^{-1} = \frac{1}{\det(M)} M$
提示：注意伴随矩阵的逆的公式，不要混淆顺序。
步骤 3/7
目标：代入原方程并化简
原方程为$\left[\left(\frac{1}{4}A\right)^*\right]^{-1} B A^{-1} = \frac{1}{2} A B + 6E$，代入得$2A B A^{-1} = \frac{1}{2} A B + 6E$。两边左乘$A^{-1}$得$2 B A^{-1} = \frac{1}{2} B + 6 A^{-1}$。两边右乘$A$得$2 B = \frac{1}{2} B A + 6E$。整理得$2B - \frac{1}{2} B A = 6E$，即$B(2E - \frac{1}{2}A) = 6E$，或$B(4E - A) = 12E$。
公式：矩阵乘法不交换，注意左乘右乘
提示：在矩阵方程中，乘法的顺序很重要，必须区分左乘和右乘。
步骤 4/7
目标：解出B的表达式
由$B(4E - A) = 12E$，且$4E - A$可逆（因为$\det(4E - A) \neq 0$），两边右乘$(4E - A)^{-1}$得$B = 12 (4E - A)^{-1}$。
公式：若$AX = B$且$A$可逆，则$X = A^{-1}B$
提示：注意方程形式是$B$右乘某个矩阵，所以解时右乘逆。
步骤 5/7
目标：计算4E - A
$4E - A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。这也是分块对角矩阵，块为$C_1 = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$，$C_2 = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$。
提示：注意减法时对应元素相减。
步骤 6/7
目标：求分块矩阵的逆
先求$C_1$的逆：$\det(C_1)=2\cdot(-2)-(-4)\cdot(-2)=-4-8=-12$，$C_1^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$。再求$C_2$的逆：$\det(C_2)=4\cdot4-(-4)\cdot2=16+8=24$，$C_2^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$。所以$(4E - A)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{12} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$。
公式：2阶矩阵逆公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：求逆时注意符号和分数化简。
步骤 7/7
目标：计算B
$B = 12 (4E - A)^{-1} = 12 \times \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{12} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：乘以12时注意每个元素都要乘。
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