武汉理工大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．设向量
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
a \\
a \\
a
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
b+1 \\
2 b+1 \\
b+1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
b+4
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2 b+1
\end{array}\right) .
$$
（1）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 不可以表示成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？
（2）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出？并写出线性表达式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性方程组
设 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$，得到线性方程组：
$$
\begin{cases}
a x_1 + (b+1)x_2 + 2x_3 = 1 \\
a x_1 + (2b+1)x_2 + 3x_3 = 1 \\
a x_1 + (b+1)x_2 + (b+4)x_3 = 2b+1
\end{cases}
$$
写出系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$。
提示：注意向量维数一致，确保方程组正确。
步骤 2/7
目标：对增广矩阵进行初等行变换
对 $\bar{A}$ 作初等行变换：
$$
\begin{pmatrix} a & b+1 & 2 & 1 \\ a & 2b+1 & 3 & 1 \\ a & b+1 & b+4 & 2b+1 \end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2 - r_1, r_3 - r_1}
\begin{pmatrix} a & b+1 & 2 & 1 \\ 0 & b & 1 & 0 \\ 0 & 0 & b+2 & 2b \end{pmatrix}
$$
提示：行变换要仔细，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：判断无解的条件（第1问）
方程组无解当且仅当 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(\bar{A})$。分析阶梯形矩阵：
- 若 $b = -2$，则第三行变为 $(0\ 0\ 0\ -4)$，$\operatorname{rank}(A)=2$，$\operatorname{rank}(\bar{A})=3$，无解。
- 若 $b \neq -2$，则第三行非零，$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\bar{A})=3$，有解。
注意 $a$ 不影响秩的比较（当 $a=0$ 时第一行全零，但第二、三行决定秩）。
提示：注意 $a=0$ 时第一行全零，但秩由非零行决定，仍需考虑 $b$。
步骤 4/7
目标：总结第1问答案
因此，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示当且仅当 $b = -2$，$a$ 任意。
步骤 5/7
目标：求解方程组（第2问，一般情况）
当 $b \neq -2$ 时，方程组有解。从阶梯形矩阵回代：
- 第三行：$(b+2)x_3 = 2b$，得 $x_3 = \frac{2b}{b+2}$。
- 第二行：$b x_2 + x_3 = 0$，得 $x_2 = -\frac{x_3}{b} = -\frac{2}{b+2}$（$b \neq 0$）。
- 第一行：$a x_1 + (b+1)x_2 + 2x_3 = 1$，解得 $x_1 = \frac{1 - (b+1)x_2 - 2x_3}{a} = \frac{-2b+3}{a(b+2)}$（$a \neq 0$）。
提示：注意 $b=0$ 和 $a=0$ 的特殊情况需要单独讨论。
步骤 6/7
目标：讨论特殊情况
特殊情况：
- 若 $b=0$，则阶梯形为 $\begin{pmatrix} a & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$，得 $x_3=0$，$a x_1 + x_2 = 1$。当 $a \neq 0$ 时，$x_1 = \frac{1-t}{a}, x_2=t$；当 $a=0$ 时，$x_2=1, x_1$ 任意。
- 若 $a=0$ 且 $b \neq 0, -2$，则第一行变为 $0 = 1 - (b+1)x_2 - 2x_3$，代入 $x_2, x_3$ 得 $\frac{-2b+3}{b+2}=0$，即 $b=\frac{3}{2}$ 时有解，否则无解（但 $b \neq -2$ 时无解情况已排除）。
提示：注意 $a=0$ 时需检查第一行是否成立。
步骤 7/7
目标：写出线性表达式
综合得线性表达式：
- 当 $b \neq -2$ 且 $a \neq 0$ 时，
$$
\beta = \frac{-2b+3}{a(b+2)} \alpha_1 - \frac{2}{b+2} \alpha_2 + \frac{2b}{b+2} \alpha_3.
$$
- 当 $b=0$ 且 $a \neq 0$ 时，
$$
\beta = \frac{1-t}{a} \alpha_1 + t \alpha_2, \quad t \in \mathbb{R}.
$$
- 当 $b=0$ 且 $a=0$ 时，
$$
\beta = t \alpha_1 + \alpha_2, \quad t \in \mathbb{R}.
$$
- 当 $b=\frac{3}{2}$ 且 $a=0$ 时，
$$
\beta = t \alpha_1 - \frac{4}{7} \alpha_2 + \frac{6}{7} \alpha_3, \quad t \in \mathbb{R}.
$$
提示：注意 $b=0$ 时 $x_3=0$，表达式不含 $\alpha_3$。
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