武汉理工大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $P$ 为数域，在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 中，令
$$
V_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
x & -x \\
y & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in P\right\}, V_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-a & c
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}
$$
（1）判断 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是否为 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的子空间，并说明理由．
（2）分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断V1是否为子空间
首先验证零矩阵是否属于V1：取$x=y=z=0$，得零矩阵，故$0\in V_1$。其次验证加法封闭：任取$A=\begin{pmatrix} x & -x \\ y & z \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} x' & -x' \\ y' & z' \end{pmatrix}\in V_1$，则$A+B=\begin{pmatrix} x+x' & -(x+x') \\ y+y' & z+z' \end{pmatrix}\in V_1$。最后验证数乘封闭：任取$k\in P$，$kA=\begin{pmatrix} kx & -kx \\ ky & kz \end{pmatrix}\in V_1$。因此$V_1$是$P^{2\times2}$的子空间。
提示：注意零矩阵的验证需要所有参数为零；加法封闭时对应元素相加；数乘封闭时每个元素乘以数乘因子。
步骤 2/6
目标：判断V2是否为子空间
首先验证零矩阵：取$a=b=c=0$，得零矩阵，故$0\in V_2$。其次验证加法封闭：任取$A=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} a' & b' \\ -a' & c' \end{pmatrix}\in V_2$，则$A+B=\begin{pmatrix} a+a' & b+b' \\ -(a+a') & c+c' \end{pmatrix}\in V_2$。最后验证数乘封闭：任取$k\in P$，$kA=\begin{pmatrix} ka & kb \\ -ka & kc \end{pmatrix}\in V_2$。因此$V_2$是$P^{2\times2}$的子空间。
提示：注意V2中(2,1)位置是-a，加法后仍为负的和。
步骤 3/6
目标：求V1的基与维数
V1中矩阵可表示为$x\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，故一组基为$\alpha_1=\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，维数$\dim V_1=3$。
提示：注意基向量必须线性无关且能生成整个空间；这里三个矩阵显然线性无关。
步骤 4/6
目标：求V2的基与维数
V2中矩阵可表示为$a\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，故一组基为$\beta_1=\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，维数$\dim V_2=3$。
提示：注意V2中(2,1)位置是-a，所以基矩阵中对应位置为-1。
步骤 5/6
目标：求V1∩V2的基与维数
设$M\in V_1\cap V_2$，则$M=\begin{pmatrix} x & -x \\ y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \end{pmatrix}$。比较得：$x=a$，$-x=b$，$y=-a$，$z=c$。由$x=a$和$y=-a$得$y=-x$；由$-x=b$得$b=-x$；$z=c$自由。故$M=\begin{pmatrix} x & -x \\ -x & z \end{pmatrix}$，其中$x,z\in P$。因此$V_1\cap V_2=\left\{ \begin{pmatrix} x & -x \\ -x & z \end{pmatrix} \mid x,z\in P \right\}$。一组基为$\gamma_1=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&0\end{pmatrix},\gamma_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，维数$\dim(V_1\cap V_2)=2$。
提示：注意方程组求解时，参数要统一；基向量需线性无关。
步骤 6/6
目标：求V1+V2的维数与基
由维数公式：$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)=3+3-2=4$。由于$P^{2\times2}$的维数为4，故$V_1+V_2=P^{2\times2}$。一组基可取$P^{2\times2}$的标准基：$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。
公式：维数公式：$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$
提示：注意维数公式的使用条件；当和空间维数等于全空间维数时，和空间即为全空间。
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