江南大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标．
（3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算基向量的像
由定义 $\mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2, x_2 + x_3, x_1)$，计算基向量 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 的像：
$\mathcal{A}(\varepsilon_1) = \mathcal{A}(1,0,0) = (2,0,1) = 2\varepsilon_1 + 0\varepsilon_2 + 1\varepsilon_3$，
$\mathcal{A}(\varepsilon_2) = \mathcal{A}(0,1,0) = (-1,1,0) = -1\varepsilon_1 + 1\varepsilon_2 + 0\varepsilon_3$，
$\mathcal{A}(\varepsilon_3) = \mathcal{A}(0,0,1) = (0,1,0) = 0\varepsilon_1 + 1\varepsilon_2 + 0\varepsilon_3$。
公式：$\mathcal{A}(\varepsilon_j) = \sum_{i=1}^3 a_{ij}\varepsilon_i$
提示：注意像的坐标按列排列构成矩阵。
步骤 2/8
目标：写出矩阵
将像的系数按列排成矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $\mathcal{A}(\varepsilon_j)$ 的坐标。
步骤 3/8
目标：计算 $\mathcal{A}(\alpha)$
给定 $\alpha = (1,0,-2)$，代入变换：
$\mathcal{A}(\alpha) = (2\cdot1 - 0, 0 + (-2), 1) = (2, -2, 1)$。
公式：$\mathcal{A}(x_1,x_2,x_3) = (2x_1-x_2, x_2+x_3, x_1)$
提示：直接代入坐标计算，注意顺序。
步骤 4/8
目标：建立坐标方程
设 $\mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $(y_1, y_2, y_3)^T$，则
$(2, -2, 1) = y_1(2,0,1) + y_2(0,-1,1) + y_3(-1,0,2)$。
得到方程组：
$\begin{cases} 2y_1 - y_3 = 2 \\ - y_2 = -2 \\ y_1 + y_2 + 2y_3 = 1 \end{cases}$。
公式：$\beta = \sum_{i=1}^3 y_i \alpha_i$
提示：注意基向量是列向量，坐标是系数。
步骤 5/8
目标：解方程组
由第二式得 $y_2 = 2$。代入第三式：$y_1 + 2 + 2y_3 = 1 \Rightarrow y_1 + 2y_3 = -1$。与第一式 $2y_1 - y_3 = 2$ 联立，解得 $y_1 = 0, y_3 = -1$。所以坐标为 $(0, 2, -1)^T$。
提示：解线性方程组时注意系数矩阵的行列式不为零，解唯一。
步骤 6/8
目标：判断可逆性并求行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1 \neq 0$，故 $\mathcal{A}$ 可逆。
公式：$\det(A) \neq 0 \iff \mathcal{A}$ 可逆
提示：按第三行展开行列式，注意符号。
步骤 7/8
目标：求逆矩阵
计算伴随矩阵：
$A_{11}=0, A_{12}=1, A_{13}=-1$，
$A_{21}=0, A_{22}=0, A_{23}=1$，
$A_{31}=-1, A_{32}=-2, A_{33}=2$。
所以 $\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$。
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) = -\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$
提示：注意代数余子式的符号和转置。
步骤 8/8
目标：写出逆变换公式
由逆矩阵可得 $\mathcal{A}^{-1}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A^{-1}$，因此
$\mathcal{A}^{-1}(x_1,x_2,x_3) = ( -x_2 + x_3, -x_3, x_1 + 2x_2 - 2x_3 )$。
公式：$\mathcal{A}^{-1}(\mathbf{x}) = A^{-1} \mathbf{x}^T$
提示：注意矩阵乘法顺序：坐标作为列向量左乘矩阵。
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