📝 江南大学 2024年高等代数真题
第1题
1．已知多项式 $\displaystyle f(x) \in P[x], P$ 为数域．（15 分）
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分）
（2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分）
（2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．
第2题
2．计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & \cdots & 1 & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & n+1\end{array}\right|$ ．（10 分）
第3题
3．$\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,1,1)^{\prime}, \quad \alpha_{2}=(0,1,-1,-1,1)^{T}, \quad \alpha_{3}=(1,-1,3,3,-1)^{T}, \quad \alpha_{4}=(3,3 .-2,-4,2)^{\prime}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}=(5,2,1,1,1)^{T}, \quad \alpha_{6}=(-4,-2,-1,1,-1)^{t}$
（1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分）
（2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）
（1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分）
（2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）
第4题
4．方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ 有一个解 $\displaystyle (1,-1,1,-1)^{T}$
（1）求该方程组全部解，并用基础解系表示；（7 分）
（2）满足 $\displaystyle x_{2}=x_{3}$ 的全部解．（8 分）
（1）求该方程组全部解，并用基础解系表示；（7 分）
（2）满足 $\displaystyle x_{2}=x_{3}$ 的全部解．（8 分）
第5题
5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。
（1）证明：$\displaystyle |A|=|A|^{n-1}$ ；
（2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right), B$ 满足 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1}=2 A B+12 E$ ，求 $B$ 。
（1）证明：$\displaystyle |A|=|A|^{n-1}$ ；
（2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right), B$ 满足 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1}=2 A B+12 E$ ，求 $B$ 。
第6题
6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．
第7题
7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。
（1）判断是否是正定二次型．
（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）
（1）判断是否是正定二次型．
（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）
第8题
8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标．
（3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标．
（3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$
第9题
9．设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的每个元素的绝对值为 2 。证明：当 $\displaystyle n \geq 3$ 时，$\displaystyle |A| \leq \frac{1}{3} 2^{n+1} n!$ ．
（15 分）
（15 分）
第10题
10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）