江南大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。
（1）判断是否是正定二次型．
（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 满足 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。由于交叉项系数为1，故 $a_{12}=a_{21}=\frac12$，$a_{13}=a_{31}=\frac12$，$a_{23}=a_{32}=\frac12$，对角元均为0。因此 $A=\begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 0 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$
提示：注意交叉项系数要除以2填入矩阵的对称位置。
步骤 2/6
目标：判断正定性
计算顺序主子式：一阶顺序主子式 $\Delta_1=0$；二阶顺序主子式 $\Delta_2=\begin{vmatrix} 0 & \frac12 \\ \frac12 & 0 \end{vmatrix}=-\frac14<0$；三阶顺序主子式 $\Delta_3=\det A=\begin{vmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 0 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 & 0 \end{vmatrix}=0+\frac18+\frac18-0-0-0=\frac14>0$。正定二次型的充要条件是所有顺序主子式大于零，这里 $\Delta_1=0$ 不满足，故不是正定二次型。
公式：顺序主子式 $\Delta_k>0$ 对所有 $k=1,\dots,n$
提示：注意顺序主子式是从左上角开始取子式，不是任意主子式。
步骤 3/6
目标：求特征值
解特征方程 $|\lambda E-A|=0$：$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda & -\frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & \lambda & -\frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & \lambda \end{vmatrix}=0$。计算行列式：$\lambda(\lambda^2-\frac14)+\frac12(-\frac12\lambda-\frac14)-\frac12(\frac14+\frac12\lambda)=\lambda^3-\frac14\lambda-\frac14\lambda-\frac18-\frac18-\frac14\lambda=\lambda^3-\frac34\lambda-\frac14=0$。因式分解得 $(\lambda-1)(\lambda+\frac12)^2=0$，特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=\lambda_3=-\frac12$。
公式：$|\lambda E-A|=0$
提示：计算行列式时注意符号，可先提取公因子简化。
步骤 4/6
目标：求特征向量并正交化单位化
对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & 1 & -\frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，得 $x_1=x_2=x_3$，基础解系 $\xi_1=(1,1,1)^T$，单位化得 $\eta_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
对于 $\lambda=-\frac12$，解 $(-\frac12 E-A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & -\frac12 \end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，得 $x_1+x_2+x_3=0$，基础解系可取 $\xi_2=(1,-1,0)^T$，$\xi_3=(1,0,-1)^T$。正交化：令 $\beta_2=\xi_2=(1,-1,0)^T$，$\beta_3=\xi_3-\frac{(\xi_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2=(1,0,-1)^T-\frac{1}{2}(1,-1,0)^T=(\frac12,\frac12,-1)^T$。单位化：$\eta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，$\eta_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
公式：施密特正交化：$\beta_k=\xi_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\xi_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i$
提示：正交化时注意顺序，单位化时不要忘记除以模长。
步骤 5/6
目标：构造正交变换矩阵
将单位化后的特征向量按列排成矩阵 $Q$：$Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。则正交变换为 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$。
公式：$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，$Q$ 为正交矩阵
提示：注意特征向量的顺序应与特征值对应，但标准形中特征值的顺序可调。
步骤 6/6
目标：写出标准形
正交变换下二次型化为标准形 $f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2=1\cdot y_1^2+(-\frac12)y_2^2+(-\frac12)y_3^2=y_1^2-\frac12 y_2^2-\frac12 y_3^2$。
公式：$f=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$
提示：标准形中系数为特征值，注意符号。
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