江南大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，$\mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，定义 $W_0 = W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$，其中 $\mathcal{A}^{-1}(0)$ 是 $\mathcal{A}$ 的核。需要证明 $\dim W = \dim \mathcal{A}W + \dim W_0$。
提示：注意 $\mathcal{A}^{-1}(0)$ 是核，不要误解为原像集。
步骤 2/7
目标：考虑限制变换
考虑线性变换 $\mathcal{A}$ 在子空间 $W$ 上的限制，记作 $\mathcal{A}|_W: W \to V$，定义为对任意 $w \in W$，$\mathcal{A}|_W(w) = \mathcal{A}(w)$。则 $\mathcal{A}|_W$ 是线性变换。
提示：限制变换的定义域是 $W$，值域仍是 $V$，但像集在 $V$ 中。
步骤 3/7
目标：确定限制变换的核
求 $\mathcal{A}|_W$ 的核：$\ker(\mathcal{A}|_W) = \{ w \in W \mid \mathcal{A}(w)=0 \} = W \cap \mathcal{A}^{-1}(0) = W_0$。因此核就是 $W_0$。
公式：\ker(\mathcal{A}|_W) = W_0
提示：注意核是 $W$ 中满足 $\mathcal{A}(w)=0$ 的向量集合。
步骤 4/7
目标：确定限制变换的像
求 $\mathcal{A}|_W$ 的像：$\operatorname{Im}(\mathcal{A}|_W) = \{ \mathcal{A}(w) \mid w \in W \} = \mathcal{A}W$。因此像就是 $\mathcal{A}W$。
公式：\operatorname{Im}(\mathcal{A}|_W) = \mathcal{A}W
提示：注意 $\mathcal{A}W$ 是 $W$ 中所有向量的像的集合，是 $V$ 的子空间。
步骤 5/7
目标：应用维数定理
对线性变换 $\mathcal{A}|_W$ 应用维数定理（秩-零化度定理）：$\dim W = \dim \ker(\mathcal{A}|_W) + \dim \operatorname{Im}(\mathcal{A}|_W)$。
公式：\dim W = \dim \ker(\mathcal{A}|_W) + \dim \operatorname{Im}(\mathcal{A}|_W)
提示：维数定理适用于定义域为有限维线性空间的线性变换。
步骤 6/7
目标：代入核与像的维数
将 $\ker(\mathcal{A}|_W) = W_0$ 和 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}|_W) = \mathcal{A}W$ 代入维数定理，得到 $\dim W = \dim W_0 + \dim \mathcal{A}W$。
公式：\dim W = \dim W_0 + \dim \mathcal{A}W
提示：注意顺序：维数定理中核的维数在前，像的维数在后。
步骤 7/7
目标：结论
因此，等式 $\dim W = \dim \mathcal{A}W + \dim W_0$ 成立，证毕。
提示：结论与题目要求一致。
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