江南大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。
（1）证明：$\displaystyle |A|=|A|^{n-1}$ ；
（2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right), B$ 满足 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1}=2 A B+12 E$ ，求 $B$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明伴随矩阵的行列式公式
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$A^*$ 为其伴随矩阵。已知 $AA^* = A^*A = |A|E$。
- 若 $|A| \neq 0$，则 $A^* = |A|A^{-1}$，两边取行列式得 $|A^*| = | |A|A^{-1} | = |A|^n |A^{-1}| = |A|^n \cdot \frac{1}{|A|} = |A|^{n-1}$。
- 若 $|A| = 0$，则 $AA^* = 0$。若 $A^*$ 可逆，则 $A = 0$，但 $A=0$ 时 $A^*=0$，矛盾。故 $A^*$ 不可逆，即 $|A^*|=0$，而 $|A|^{n-1}=0$，等式成立。
综上，$|A^*| = |A|^{n-1}$。
公式：AA^* = A^*A = |A|E
提示：注意分 $|A| \neq 0$ 和 $|A| = 0$ 两种情况讨论，当 $|A|=0$ 时需用反证法证明 $A^*$ 不可逆。
步骤 2/7
目标：计算矩阵A的行列式
给定 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$，为分块对角矩阵：$A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$，其中 $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。
$|A_1| = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 1$，$|A_2| = 0\cdot0 - 2\cdot(-1) = 2$，故 $|A| = |A_1| \cdot |A_2| = 2$。
公式：|A| = |A_1||A_2|
提示：分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。
步骤 3/7
目标：计算A的逆矩阵
计算 $A_1^{-1}$：$A_1^{-1} = \frac{1}{|A_1|} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
计算 $A_2^{-1}$：$A_2^{-1} = \frac{1}{|A_2|} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。
所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。
公式：A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)
提示：注意分块对角矩阵的逆等于各块逆的直和。
步骤 4/7
目标：化简方程
原方程：$\left[\left(\frac{1}{2}A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1} = 2AB + 12E$。
注意 $\left(\frac{1}{2}A\right)^{-}$ 表示逆矩阵，即 $\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1}$，则 $\left[\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1}\right]^{-1} = \frac{1}{2}A$。
方程化为：$\frac{1}{2}A \cdot B A^{-1} = 2AB + 12E$。
两边左乘 $2A^{-1}$：$B A^{-1} = 4B + 24A^{-1}$。
移项：$B A^{-1} - 4B = 24A^{-1}$。
右乘 $A$：$B - 4BA = 24E$。
即 $B(E - 4A) = 24E$，所以 $B = 24(E - 4A)^{-1}$。
公式：B(E - 4A) = 24E
提示：注意逆矩阵的运算顺序，左乘和右乘不可交换。
步骤 5/7
目标：计算E-4A
$E - 4A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -8 & 0 & 0 \\ -4 & -11 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -8 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵减法的正确计算。
步骤 6/7
目标：求E-4A的逆矩阵
分块求逆：设 $C = \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ -4 & -11 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$。
$|C| = (-3)(-11) - (-8)(-4) = 33 - 32 = 1$，$C^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$。
$|D| = 1\cdot1 - (-8)\cdot4 = 1 + 32 = 33$，$D^{-1} = \frac{1}{33} \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$。
所以 $(E - 4A)^{-1} = \begin{pmatrix} C^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 8 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{33} & \frac{8}{33} \\ 0 & 0 & -\frac{4}{33} & \frac{1}{33} \end{pmatrix}$。
公式：(E-4A)^{-1} = \begin{pmatrix} C^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}
提示：分块对角矩阵的逆等于各块逆的直和，注意二阶矩阵求逆公式。
步骤 7/7
目标：计算B
$B = 24 (E - 4A)^{-1} = \begin{pmatrix} -264 & 192 & 0 & 0 \\ 96 & -72 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{24}{33} & \frac{192}{33} \\ 0 & 0 & -\frac{96}{33} & \frac{24}{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -264 & 192 & 0 & 0 \\ 96 & -72 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{8}{11} & \frac{64}{11} \\ 0 & 0 & -\frac{32}{11} & \frac{8}{11} \end{pmatrix}$。
公式：B = 24(E-4A)^{-1}
提示：注意分数化简，24/33 = 8/11。
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