江南大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．已知多项式 $\displaystyle f(x) \in P[x], P$ 为数域．（15 分）
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分）
（2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析问题（1）的结论
问题（1）问：若 $f'(x)$ 有 $k$ 重因式，$f(x)$ 是否一定有 $k+1$ 重因式？结论是不一定。
提示：注意区分因式重数在导数与原多项式之间的关系，但需考虑因式是否属于原多项式。
步骤 2/6
目标：给出问题（1）的反例
反例：取 $f(x)=x^{k+2}+1$，则 $f'(x)=(k+2)x^{k+1}$，$f'(x)$ 有 $k+1$ 重因式 $x$，但 $f(x)$ 无重因式。因此 $f'(x)$ 有 $k$ 重因式时，$f(x)$ 不一定有 $k+1$ 重因式。
提示：反例构造时注意 $f(x)$ 不能有重因式，但导数有重因式。
步骤 3/6
目标：问题（2）求导并建立重根条件
对于 $f(x)=x^3-3x^2+tx-1$，求导得 $f'(x)=3x^2-6x+t$。$f(x)$ 有重根当且仅当 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式，即它们的最大公因式次数≥1。
公式：$f'(x)=3x^2-6x+t$
提示：重根条件：$f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。
步骤 4/6
目标：用辗转相除法求最大公因式
用 $f'(x)$ 除 $f(x)$：
$$f(x)=\frac{1}{3}x f'(x) + \left(-x^2+\frac{2t}{3}x-1\right)$$
令 $r_1(x)=-x^2+\frac{2t}{3}x-1$。再用 $r_1(x)$ 除 $f'(x)$：
$$f'(x)=-3r_1(x)+(t-3)(2x+1)$$
令 $r_2(x)=(t-3)(2x+1)$。
提示：辗转相除法中注意系数运算，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：讨论重根情况
有重根当且仅当 $r_2(x)=0$ 或 $r_2(x)$ 整除 $r_1(x)$。
- 若 $r_2(x)=0$，则 $t=3$，此时 $f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$，三重根 $x=1$。
- 若 $r_2(x)\neq0$，则需 $2x+1$ 整除 $r_1(x)$，即 $r_1(-1/2)=0$，解得 $t=-15/4$。此时 $f(x)=x^3-3x^2-\frac{15}{4}x-1$，$x=-\frac{1}{2}$ 是二重根（验证 $f'(-1/2)=0$，$f''(-1/2)\neq0$）。
提示：注意 $t=3$ 时 $r_2(x)=0$，此时 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式 $2x+1$？实际上 $t=3$ 时 $r_2(x)=0$，说明 $f'(x)$ 被 $r_1(x)$ 整除，但 $r_1(x)$ 本身是二次式，需进一步分析。正确做法：$t=3$ 时 $r_1(x)=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2$，公因式为 $(x-1)^2$，所以 $f(x)$ 有重根 $x=1$，重数3。
步骤 6/6
目标：总结问题（2）的答案
当 $t=3$ 时，$f(x)$ 有三重根 $x=1$；当 $t=-\frac{15}{4}$ 时，$f(x)$ 有二重根 $x=-\frac{1}{2}$；其他 $t$ 无重根。
提示：注意重根的重数判断：$t=3$ 时重数为3，$t=-15/4$ 时重数为2。
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