江南大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & \cdots & 1 & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & n+1\end{array}\right|$ ．（10 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别行列式结构
观察行列式 $D_n$，其主对角线元素为 $2, 3, 4, \dots, n, n+1$，其余元素全为1。这是一个典型的“全1”矩阵加对角矩阵的形式，即 $D_n = \det(\mathrm{diag}(1,2,\dots,n) + J)$，其中 $J$ 是全1矩阵。
提示：注意第一行第一列是2，不是1+1？实际上2=1+1，3=2+1，...，n+1=n+1，所以对角元可写为 $a_i = i+1$，但第一行第一列对应i=1。
步骤 2/5
目标：应用行列式公式
对于形如 $\begin{vmatrix} a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & a_n \end{vmatrix}$ 的行列式，有公式：$\displaystyle \det = \left(\prod_{i=1}^n (a_i-1)\right)\left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i-1}\right)$。本题中 $a_i = i+1$，所以 $a_i-1 = i$。
公式：$\displaystyle \det = \left(\prod_{i=1}^n (a_i-1)\right)\left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i-1}\right)$
提示：公式中 $a_i-1$ 不能为零，这里 $i \ge 1$，所以 $a_i-1 \ge 1$，安全。
步骤 3/5
目标：计算乘积部分
计算 $\displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i-1) = \prod_{i=1}^n i = n!$。
公式：$\displaystyle \prod_{i=1}^n i = n!$
提示：注意阶乘的定义，从1乘到n。
步骤 4/5
目标：计算求和部分
计算 $\displaystyle 1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i-1} = 1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$。这是调和数 $H_n$ 加1。
公式：$\displaystyle H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$
提示：注意求和从1到n，不要漏掉1。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将乘积和求和相乘，得到 $D_n = n! \left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right)$。
公式：$D_n = n! \left(1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)$
提示：结果可以写成 $n! + n! \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，但通常保留原形式。
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