江苏师范大学 2026年高等代数第4题

题目要求证明：矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & D \\ B & C \end{pmatrix}$ 可逆的充分必要条件是 $A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 $A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $M^{-1}$。其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $m \times n$ 矩阵。注意：$B$ 是 $n$ 阶方阵，但 $M$ 中 $B$ 位于左下角，是 $n \times m$ 矩阵？实际上，$M$ 是 $(m+n) \times (m+n)$ 矩阵，左上 $A$ 是 $m \times m$，右上 $D$ 是 $m \times n$，左下 $B$ 是 $n \times m$，右下 $C$ 是 $n \times n$。因此 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，不是方阵！题目说 $B$ 为 $n$ 阶方阵，但位置在左下，应为 $n \times m$ 矩阵。这可能是笔误。通常此类问题中 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵。我们按标准分块矩阵处理。

假设 $M$ 可逆，则 $\det M \neq 0$。利用分块矩阵的行列式公式（当 $A$ 可逆时）：$\det M = \det(A) \det(C - B A^{-1} D)$。由于 $\det M \neq 0$，得 $\det A \neq 0$ 且 $\det(C - B A^{-1} D) \neq 0$，故 $A$ 可逆。同理，若 $C$ 可逆，则 $\det M = \det(C) \det(A - D C^{-1} B)$，由 $\det M \neq 0$ 得 $\det C \neq 0$，故 $C$ 可逆。但 $B$ 的可逆性无法推出，因为 $B$ 不是方阵（若 $m \neq n$）或即使 $m=n$，$B$ 可逆也不是必要条件。例如 $m=n=1$，$A=1$，$B=0$，$C=1$，$D=0$，则 $M=I$ 可逆，但 $B=0$ 不可逆。因此原命题的必要性中“$B$ 可逆”不成立。

假设 $A$ 和 $C$ 可逆，则 $A^{-1}$ 和 $C^{-1}$ 存在。考虑矩阵 $S = C - B A^{-1} D$。由于 $A$ 可逆，$S$ 是 $n \times n$ 矩阵。若 $S$ 也可逆，则 $M$ 可逆。但题目要求 $B$ 可逆，实际上 $S$ 的可逆性需要额外条件。若 $B$ 可逆，则 $S$ 不一定可逆。例如 $A=I$，$C=I$，$B=I$，$D=0$，则 $S=I$ 可逆。但若 $B$ 可逆而 $D$ 非零，$S$ 可能不可逆。因此充分性条件应为 $A$ 和 $S$ 可逆，或 $C$ 和 $T = A - D C^{-1} B$ 可逆。题目中“$A, B, C$ 均可逆”并不能保证 $M$ 可逆，反例：$m=n=1$，$A=1$，$B=1$，$C=1$，$D=2$，则 $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\det M = -1 \neq 0$，$M$ 可逆，但 $A, B, C$ 均可逆。实际上，$A, B, C$ 均可逆时，$M$ 不一定可逆？考虑 $m=n=1$，$A=1$，$B=1$，$C=1$，$D=1$，则 $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\det M = 0$，$M$ 不可逆，但 $A, B, C$ 均可逆。因此充分性也不成立。所以原命题错误。

正确的充要条件是：$M$ 可逆当且仅当 $A$ 和 $S = C - B A^{-1} D$ 可逆（或 $C$ 和 $T = A - D C^{-1} B$ 可逆）。此时 $M^{-1}$ 的表达式为： 若 $A$ 可逆，则 $$M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1} D S^{-1} B A^{-1} & -A^{-1} D S^{-1} \\ -S^{-1} B A^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}.$$ 若 $C$ 可逆，则 $$M^{-1} = \begin{pmatrix} T^{-1} & -T^{-1} D C^{-1} \\ -C^{-1} B T^{-1} & C^{-1} + C^{-1} B T^{-1} D C^{-1} \end{pmatrix}.$$

验证 $M M^{-1} = I$。计算 $M M^{-1}$ 的分块乘积：左上块：$A (A^{-1} + A^{-1} D S^{-1} B A^{-1}) + D (-S^{-1} B A^{-1}) = I + D S^{-1} B A^{-1} - D S^{-1} B A^{-1} = I$。右上块：$A (-A^{-1} D S^{-1}) + D S^{-1} = -D S^{-1} + D S^{-1} = 0$。左下块：$B (A^{-1} + A^{-1} D S^{-1} B A^{-1}) + C (-S^{-1} B A^{-1}) = B A^{-1} + B A^{-1} D S^{-1} B A^{-1} - C S^{-1} B A^{-1}$。由于 $C = S + B A^{-1} D$，代入得 $B A^{-1} + B A^{-1} D S^{-1} B A^{-1} - (S + B A^{-1} D) S^{-1} B A^{-1} = B A^{-1} + B A^{-1} D S^{-1} B A^{-1} - B A^{-1} - B A^{-1} D S^{-1} B A^{-1} = 0$。右下块：$B (-A^{-1} D S^{-1}) + C S^{-1} = -B A^{-1} D S^{-1} + (S + B A^{-1} D) S^{-1} = -B A^{-1} D S^{-1} + I + B A^{-1} D S^{-1} = I$。因此 $M M^{-1} = I$。类似可证 $M^{-1} M = I$。

原命题要求 $A, B, C$ 均可逆，但反例表明 $B$ 可逆既非必要也非充分。例如 $m=n=1$，$A=1$，$B=0$，$C=1$，$D=0$ 时 $M$ 可逆但 $B$ 不可逆；$A=1$，$B=1$，$C=1$，$D=1$ 时 $A, B, C$ 均可逆但 $M$ 不可逆。因此原命题错误。正确的结论是：$M$ 可逆当且仅当 $A$ 和 $C - B A^{-1} D$ 可逆（或 $C$ 和 $A - D C^{-1} B$ 可逆）。