江苏师范大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 是一个实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle X_{1}^{T} A X_{1}> 0, X_{2}^{T} A X_{2}<0$ ，证明：存在实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{0} \neq 0$ ，使得 $\displaystyle X_{0}^{T} A X_{0}=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并设定函数
设 $f(X)=X^T A X$ 是实二次型。已知存在实 $n$ 维向量 $X_1, X_2$ 使得 $f(X_1)>0$，$f(X_2)<0$。考虑连接 $X_2$ 和 $X_1$ 的线段上的点：$X(t)=tX_1+(1-t)X_2$，其中 $t\in[0,1]$。定义函数 $\varphi(t)=f(X(t))$。
公式：\varphi(t)=f(tX_1+(1-t)X_2)
提示：注意 $X(t)$ 是 $X_1$ 和 $X_2$ 的凸组合，$t$ 从0到1变化时，$X(t)$ 从 $X_2$ 连续变化到 $X_1$。
步骤 2/6
目标：分析函数的连续性
由于二次型 $f(X)=X^T A X$ 是 $X$ 的连续函数（因为它是多项式函数），而 $X(t)$ 是 $t$ 的连续函数，所以复合函数 $\varphi(t)=f(X(t))$ 是 $t$ 在 $[0,1]$ 上的连续函数。
提示：连续函数的复合仍是连续函数，这是介值定理应用的前提。
步骤 3/6
目标：计算端点函数值
计算 $\varphi(0)=f(X_2)<0$，$\varphi(1)=f(X_1)>0$。因此 $\varphi(0)$ 和 $\varphi(1)$ 异号。
公式：\varphi(0)=f(X_2)<0,\quad \varphi(1)=f(X_1)>0
提示：注意 $X_1$ 和 $X_2$ 是已知的，它们的二次型值一正一负。
步骤 4/6
目标：应用介值定理
由连续函数的介值定理，由于 $\varphi(0)<0$ 且 $\varphi(1)>0$，存在 $t_0\in(0,1)$ 使得 $\varphi(t_0)=0$。
公式：\exists t_0\in(0,1),\ \varphi(t_0)=0
提示：介值定理要求函数连续且端点值异号，这里满足条件。
步骤 5/6
目标：构造零向量并验证非零性
令 $X_0 = t_0 X_1 + (1-t_0) X_2$，则 $X_0^T A X_0 = \varphi(t_0)=0$。需要证明 $X_0\neq 0$。若 $X_1$ 与 $X_2$ 线性相关，则存在非零向量使得二次型为零（因为 $f(X_1)>0$ 而 $f(X_2)<0$，所以 $X_1$ 和 $X_2$ 不能同时为零，且若 $X_1=kX_2$，则 $f(X_1)=k^2 f(X_2)$，但 $f(X_1)>0$ 且 $f(X_2)<0$ 矛盾，故 $X_1$ 与 $X_2$ 线性无关）。若 $X_1$ 与 $X_2$ 线性无关，则 $X_0$ 是它们的非平凡组合，且 $t_0\in(0,1)$，故 $X_0\neq 0$。
公式：X_0 = t_0 X_1 + (1-t_0) X_2
提示：注意 $X_0$ 非零的证明：若 $X_1$ 与 $X_2$ 线性相关，则它们共线，但由二次型值一正一负可推出矛盾，因此它们线性无关，从而 $X_0$ 非零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在非零实 $n$ 维向量 $X_0$ 使得 $X_0^T A X_0 = 0$。
提示：结论成立。
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