江苏师范大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设，$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且满足 $\displaystyle |A B|=-1$ ，证明：$\displaystyle |A+B|=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正交矩阵性质化简行列式
由于 $A$ 是正交矩阵，有 $A^T A = I$，且 $|A| = \pm 1$。考虑 $|A+B|$，左乘 $A^T$ 得 $|A+B| = |A^T(A+B)| = |I + A^T B|$。
公式：$A^T A = I$
提示：注意正交矩阵的逆等于转置，且行列式为±1。
步骤 2/5
目标：引入新矩阵并利用已知条件
令 $C = A^T B$，则 $C$ 也是正交矩阵，因为 $C^T C = B^T A A^T B = I$。且 $|C| = |A^T||B| = |A||B| = |AB| = -1$。问题转化为证明 $|I+C|=0$。
公式：$|C| = |A^T||B| = |A||B|$
提示：注意 $|A^T| = |A|$，且 $|AB| = |A||B|$。
步骤 3/5
目标：分析正交矩阵的特征值性质
正交矩阵 $C$ 的特征值都是模为1的复数，且实特征值只能是 $\pm 1$。由于 $|C| = -1$，所有特征值的乘积为 $-1$，故特征值中 $-1$ 的个数为奇数，因此至少有一个特征值为 $-1$。
公式：$\prod \lambda_i = |C| = -1$
提示：特征值可能为复数，但乘积为实数-1，因此必有奇数个实特征值-1。
步骤 4/5
目标：构造非零解证明行列式为零
设 $\lambda = -1$ 是 $C$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\alpha \neq 0$，则 $C\alpha = -\alpha$。于是 $(I+C)\alpha = \alpha + C\alpha = \alpha - \alpha = 0$，所以 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $(I+C)x=0$ 的非零解，故 $|I+C|=0$。
公式：$(I+C)\alpha = 0$
提示：注意特征向量非零，因此方程组有非零解，系数矩阵行列式为零。
步骤 5/5
目标：回归原问题得出结论
由 $|I+C|=0$ 得 $|A+B| = |I + A^T B| = 0$，证毕。
提示：注意步骤的连贯性，不要遗漏中间变量。
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