江苏师范大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
设 $V$ 是欧式空间，$A$ 是 $V$ 上的对称变换，即对任意 $x,y \in V$，有 $(Ax, y) = (x, Ay)$。需要证明 $(AV)^\perp = \ker A$，其中 $AV = \{ Ax \mid x \in V \}$，$(AV)^\perp = \{ y \in V \mid (y, Ax) = 0, \forall x \in V \}$，$\ker A = \{ x \in V \mid Ax = 0 \}$。
提示：注意对称变换的定义：$(Ax, y) = (x, Ay)$。
步骤 2/5
目标：证明 $\ker A \subseteq (AV)^\perp$
任取 $z \in \ker A$，则 $Az = 0$。对任意 $x \in V$，由对称性得 $(z, Ax) = (Az, x) = (0, x) = 0$。因此 $z \in (AV)^\perp$，故 $\ker A \subseteq (AV)^\perp$。
公式：$(z, Ax) = (Az, x)$
提示：利用对称性将内积中的 $A$ 从右边移到左边。
步骤 3/5
目标：证明 $(AV)^\perp \subseteq \ker A$ 的第一步：利用定义
任取 $y \in (AV)^\perp$，则对任意 $x \in V$，有 $(y, Ax) = 0$。特别地，取 $x = y$，得 $(y, Ay) = 0$。但仅由 $(y, Ay)=0$ 不能直接推出 $Ay=0$，需要进一步推理。
公式：$(y, Ax) = 0, \forall x \in V$
提示：注意 $(y, Ay)=0$ 不一定推出 $Ay=0$，例如非正定对称变换。
步骤 4/5
目标：证明 $(AV)^\perp \subseteq \ker A$ 的第二步：构造内积
由于 $y \in (AV)^\perp$，对任意 $x \in V$ 有 $(y, Ax)=0$。利用对称性，$(Ay, x) = (y, Ax) = 0$ 对所有 $x \in V$ 成立。因此 $Ay$ 与 $V$ 中所有向量正交，特别取 $x = Ay$，得 $(Ay, Ay) = 0$。由内积的正定性，$Ay = 0$，即 $y \in \ker A$。
公式：$(Ay, x) = (y, Ax)$
提示：关键步骤：由 $(Ay, x)=0$ 对所有 $x$ 成立推出 $Ay=0$，需要用到内积的正定性。
步骤 5/5
目标：综合结论
由 $\ker A \subseteq (AV)^\perp$ 和 $(AV)^\perp \subseteq \ker A$，得 $(AV)^\perp = \ker A$。
提示：集合相等需证明双向包含。
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