江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right), M_{31}+M_{32}+M_{33}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解余子式的定义
余子式 $M_{ij}$ 是指从矩阵 $A$ 中删除第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的子矩阵的行列式。注意，$M_{ij}$ 不包含符号因子，即 $M_{ij} = \det(A_{ij})$，其中 $A_{ij}$ 是删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的子矩阵。
公式：M_{ij} = \det(A_{ij})
提示：注意区分余子式与代数余子式：代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。
步骤 2/6
目标：计算 $M_{31}$
删除第3行和第1列，得到子矩阵 $\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ b & c \end{pmatrix}$。计算其行列式：$M_{31} = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ b & c \end{vmatrix} = (-2) \cdot c - 2 \cdot b = -2c - 2b$。
公式：\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
提示：注意行列式计算公式中符号的顺序，避免混淆。
步骤 3/6
目标：计算 $M_{32}$
删除第3行和第2列，得到子矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ a & c \end{pmatrix}$。计算其行列式：$M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ a & c \end{vmatrix} = 2 \cdot c - 2 \cdot a = 2c - 2a$。
公式：\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
提示：注意 $M_{32}$ 是余子式，不是代数余子式，所以没有负号。
步骤 4/6
目标：计算 $M_{33}$
删除第3行和第3列，得到子矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ a & b \end{pmatrix}$。计算其行列式：$M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ a & b \end{vmatrix} = 2 \cdot b - (-2) \cdot a = 2b + 2a$。
公式：\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
提示：注意负数的乘法，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：求和 $M_{31}+M_{32}+M_{33}$
将三个余子式相加：$M_{31}+M_{32}+M_{33} = (-2c-2b) + (2c-2a) + (2b+2a)$。合并同类项：$-2c+2c = 0$，$-2b+2b = 0$，$-2a+2a = 0$，最终得到 $4a - 4c = 4(a-c)$。
提示：合并同类项时仔细检查每一项的系数，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$M_{31}+M_{32}+M_{33} = 4(a-c)$。
提示：最终答案应化简为最简形式。
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