📝 江西师范大学 2026年高等代数真题

1、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right), M_{31}+M_{32}+M_{33}=$ $\_\_\_\_$ ．

2、设矩阵 $A, B$ 均可逆，那么 $\left(\begin{array}{cc}C & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。

3、设 $n$ 为奇数，那么矩阵 $\left[\begin{array}{ccccc}a_{1} & & & & b_{1} \\ & a_{2} & & b_{2} & \\ & & \ddots & & \\ & b_{n-1} & & a_{n-1} & \\ b_{n} & & & & a_{n}\end{array}\right]$ 的行列式等于 $\_\_\_\_$。

4、设集合 $P=\left\{A\right.$ 是 4 阶复矩阵 $\left.\mid A^{2}=0\right\}$ ．那么把集合 $P$ 中的矩阵等价分类共有
$\_\_\_\_$类

5、设 $V$ 是实数域上全体 3 阶矩阵构成的实数域上的线性空间，其子空间

$$
W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\right\} .
$$

则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$。

6、设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，如果 $A$ 还是对称矩阵，那么 $A$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

7、设线性变换 $\sigma$ 是四维线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma$ 有 4 个不同特征值，那么 $\sigma$ 有 $\_\_\_\_$个不同的不变方空间。

8、设 $V=R^{3}$ 是实数域 $R$ 上的线性空间，定义：$f: V \rightarrow V$ ．

$$
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \rightarrow\left(x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{3}\right) .
$$

那么 $f$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。

七、（20分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．
（1）（10 分）求 $A$ 的特征值和特征子空间的维数．
（2）（10 分）求行列式 $\displaystyle |E+A|$ ．

三、（19 分）判断下列线性方程组是否有解，若有解，求出该方程组的全部解．

$$
\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=2
\end{array}\right.
$$

二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．

五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。
（1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$
（2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．

六、（20 分）$\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$ 都是数域，证明：$\displaystyle p_{1} \cup p_{2}$ 也是数城当且仅当 $\displaystyle p_{1} \cup p_{2}=p_{1}$ 或

四、（20分）证明：实数域上的每个可逆上三角矩阵均可以表示为一个主对角线上元素为 1 的上三角矩阵与一个可逆的对角矩阵的乘积，并且这种表示方式是唯一的。