江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8、设 $V=R^{3}$ 是实数域 $R$ 上的线性空间，定义：$f: V \rightarrow V$ ．
$$
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \rightarrow\left(x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{3}\right) .
$$
那么 $f$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确线性变换的定义和基
给定线性空间 $V = \mathbb{R}^3$ 和线性变换 $f: V \to V$，定义为 $f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_3, x_1 - x_2 + x_3, x_3)$。基为 $\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)$。我们需要求 $f$ 在该基下的矩阵。
提示：注意基是标准基，但变换不是恒等变换。
步骤 2/6
目标：计算第一个基向量的像
计算 $f(\varepsilon_1) = f(1,0,0) = (1+0, 1-0+0, 0) = (1,1,0)$。将像表示为基的线性组合：$(1,1,0) = 1 \cdot \varepsilon_1 + 1 \cdot \varepsilon_2 + 0 \cdot \varepsilon_3$。因此坐标向量为 $(1,1,0)^T$。
提示：注意坐标是列向量，按顺序对应基向量。
步骤 3/6
目标：计算第二个基向量的像
计算 $f(\varepsilon_2) = f(0,1,0) = (0+0, 0-1+0, 0) = (0,-1,0)$。表示为 $(0,-1,0) = 0 \cdot \varepsilon_1 + (-1) \cdot \varepsilon_2 + 0 \cdot \varepsilon_3$。坐标向量为 $(0,-1,0)^T$。
提示：注意系数为负时不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：计算第三个基向量的像
计算 $f(\varepsilon_3) = f(0,0,1) = (0+1, 0-0+1, 1) = (1,1,1)$。表示为 $(1,1,1) = 1 \cdot \varepsilon_1 + 1 \cdot \varepsilon_2 + 1 \cdot \varepsilon_3$。坐标向量为 $(1,1,1)^T$。
提示：注意第三个分量是1，不是0。
步骤 5/6
目标：构造矩阵
将每个基向量的像的坐标按列排列，得到矩阵 $A$：第一列为 $f(\varepsilon_1)$ 的坐标 $(1,1,0)^T$，第二列为 $f(\varepsilon_2)$ 的坐标 $(0,-1,0)^T$，第三列为 $f(\varepsilon_3)$ 的坐标 $(1,1,1)^T$。因此 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列顺序必须与基的顺序一致。
步骤 6/6
目标：验证结果
检查矩阵 $A$ 是否满足 $f(\varepsilon_j) = \sum_{i=1}^3 A_{ij} \varepsilon_i$。例如，$f(\varepsilon_1)$ 对应第一列 $(1,1,0)^T$，即 $1\varepsilon_1+1\varepsilon_2+0\varepsilon_3$，与之前计算一致。类似地验证其他列。
提示：验证可以避免计算错误。
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