江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六、（20 分）$\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$ 都是数域，证明：$\displaystyle p_{1} \cup p_{2}$ 也是数城当且仅当 $\displaystyle p_{1} \cup p_{2}=p_{1}$ 或
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和目标
已知 $P_1$ 和 $P_2$ 都是数域，需要证明 $P_1 \cup P_2$ 是数域当且仅当 $P_1 \cup P_2 = P_1$ 或 $P_1 \cup P_2 = P_2$。即两个数域的并仍是数域当且仅当其中一个包含另一个。
提示：注意数域的定义：对加减乘除封闭，且包含0和1。
步骤 2/5
目标：必要性：假设 $P_1 \cup P_2$ 是数域，证明 $P_1 \cup P_2 = P_1$ 或 $P_1 \cup P_2 = P_2$
用反证法。假设 $P_1 \cup P_2 \neq P_1$ 且 $P_1 \cup P_2 \neq P_2$，则存在 $a \in P_1 \setminus P_2$ 和 $b \in P_2 \setminus P_1$。即 $a \in P_1$ 但 $a \notin P_2$，$b \in P_2$ 但 $b \notin P_1$。
提示：注意集合的差集符号：$P_1 \setminus P_2$ 表示在 $P_1$ 中但不在 $P_2$ 中的元素。
步骤 3/5
目标：利用数域对加法的封闭性导出矛盾
由于 $P_1 \cup P_2$ 是数域，对加法封闭，所以 $a+b \in P_1 \cup P_2$。考虑两种情况：
- 若 $a+b \in P_1$，则 $b = (a+b) - a \in P_1$（因为 $P_1$ 是数域，对减法封闭），这与 $b \notin P_1$ 矛盾。
- 若 $a+b \in P_2$，则 $a = (a+b) - b \in P_2$，这与 $a \notin P_2$ 矛盾。
因此假设不成立，故 $P_1 \cup P_2 = P_1$ 或 $P_1 \cup P_2 = P_2$。
提示：注意数域对减法的封闭性：若 $x,y$ 在数域中，则 $x-y$ 也在数域中。
步骤 4/5
目标：充分性：若 $P_1 \cup P_2 = P_1$ 或 $P_1 \cup P_2 = P_2$，则 $P_1 \cup P_2$ 是数域
若 $P_1 \cup P_2 = P_1$，则 $P_1 \cup P_2$ 就是 $P_1$，而 $P_1$ 是数域，所以 $P_1 \cup P_2$ 是数域。同理，若 $P_1 \cup P_2 = P_2$，则 $P_1 \cup P_2$ 是数域。
提示：充分性直接由条件推出，无需额外证明。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$P_1 \cup P_2$ 是数域当且仅当 $P_1 \cup P_2 = P_1$ 或 $P_1 \cup P_2 = P_2$，即 $P_1 \subseteq P_2$ 或 $P_2 \subseteq P_1$。
提示：注意结论的等价表述：$P_1 \cup P_2 = P_1$ 等价于 $P_2 \subseteq P_1$，$P_1 \cup P_2 = P_2$ 等价于 $P_1 \subseteq P_2$。
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