江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7、设线性变换 $\sigma$ 是四维线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma$ 有 4 个不同特征值，那么 $\sigma$ 有 $\_\_\_\_$个不同的不变方空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征值与对角化的关系
由于线性变换 $\sigma$ 有 4 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$，每个特征值对应的特征子空间维数至少为 1，且不同特征值对应的特征向量线性无关。因此 $\sigma$ 有 4 个线性无关的特征向量，从而 $\sigma$ 可对角化。
提示：注意：不同特征值对应的特征向量线性无关，这是可对角化的充分条件。
步骤 2/6
目标：确定特征子空间的结构
每个特征值 $\lambda_i$ 对应的特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 是一维的，因为特征值互异且维数至少为 1，而总维数为 4，所以每个特征子空间恰为一维。
公式：\dim V_{\lambda_i} = 1
提示：不要误以为特征子空间维数可以大于1，这里由于特征值互异且总维数为4，每个特征子空间只能是一维。
步骤 3/6
目标：理解不变子空间的构造
对于可对角化线性变换，任意不变子空间都可以由特征向量的线性组合张成。具体地，取一组特征向量基 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$，则任意子集 $S \subseteq \{1,2,3,4\}$ 张成的子空间 $\operatorname{span}\{v_i : i \in S\}$ 都是 $\sigma$ 的不变子空间。
提示：注意：不变子空间不一定由特征向量张成，但对于可对角化变换，所有不变子空间都是特征向量的张成空间。
步骤 4/6
目标：计数所有不变子空间
由于有 4 个线性无关的特征向量，每个特征向量可以独立选择是否包含在生成集中。因此，所有可能的子集个数为 $2^4 = 16$，每个子集对应一个不变子空间（包括空集对应零子空间，全集对应全空间）。
公式：\text{个数} = 2^4 = 16
提示：注意：空集张成零子空间，全集张成全空间，它们都是不变子空间。
步骤 5/6
目标：验证子空间是否互异
由于特征向量线性无关，不同子集张成的子空间维数不同（等于子集大小），因此所有 16 个不变子空间互不相同。
提示：确保不同子集张成的子空间不同，避免重复计数。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$\sigma$ 共有 $16$ 个不同的不变子空间。
提示：最终答案填写 16。
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