江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。
（1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$
（2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立方程组同解关系
考虑齐次线性方程组 $Ax=0$ 和 $A^{\top}Ax=0$。若 $Ax=0$，则左乘 $A^{\top}$ 得 $A^{\top}Ax=0$，故 $\{x\mid Ax=0\} \subseteq \{x\mid A^{\top}Ax=0\}$。
提示：注意矩阵乘法顺序：$A^{\top}Ax=0$ 中 $A^{\top}A$ 是 $n\times n$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：证明反向包含关系
若 $A^{\top}Ax=0$，则 $x^{\top}A^{\top}Ax = (Ax)^{\top}(Ax) = \|Ax\|^2 = 0$，故 $Ax=0$。因此 $\{x\mid A^{\top}Ax=0\} \subseteq \{x\mid Ax=0\}$。
公式：$\|Ax\|^2 = (Ax)^{\top}(Ax) = x^{\top}A^{\top}Ax$
提示：利用实向量的范数非负性：$\|Ax\|=0$ 当且仅当 $Ax=0$。
步骤 3/6
目标：由解空间维数相等得秩相等
两个方程组同解，故解空间维数相等：$n - r(A) = n - r(A^{\top}A)$，从而 $r(A) = r(A^{\top}A)$。
公式：$\dim\ker(A) = n - r(A)$
提示：注意 $A^{\top}A$ 是 $n\times n$ 矩阵，其秩不超过 $n$。
步骤 4/6
目标：说明 $A^{\top}A$ 半正定
$A^{\top}A$ 是实对称矩阵，且对任意 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $x^{\top}(A^{\top}A)x = \|Ax\|^2 \geq 0$，故 $A^{\top}A$ 半正定。
公式：$x^{\top}(A^{\top}A)x = \|Ax\|^2$
提示：半正定矩阵的特征值非负。
步骤 5/6
目标：正交对角化 $A^{\top}A$
由实对称矩阵可正交对角化，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{\top}(A^{\top}A)Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i \geq 0$ 是特征值。
公式：$Q^{\top}(A^{\top}A)Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足 $Q^{\top}=Q^{-1}$。
步骤 6/6
目标：构造半正定平方根矩阵
定义 $\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})$，则 $\sqrt{\Lambda}$ 半正定。令 $B = Q\sqrt{\Lambda}Q^{\top}$，则 $B$ 实对称半正定，且 $B^2 = Q\sqrt{\Lambda}Q^{\top}Q\sqrt{\Lambda}Q^{\top} = Q\Lambda Q^{\top} = A^{\top}A$。
公式：$B^2 = A^{\top}A$
提示：注意 $B$ 的对称性：$B^{\top} = (Q\sqrt{\Lambda}Q^{\top})^{\top} = Q\sqrt{\Lambda}Q^{\top} = B$。
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