江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5、设 $V$ 是实数域上全体 3 阶矩阵构成的实数域上的线性空间，其子空间
$$
W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\right\} .
$$
则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性空间V的维数
实数域上全体3阶矩阵构成的线性空间$V$，其基为矩阵单位$E_{ij}$（$i,j=1,2,3$），共有$3\times 3=9$个线性无关的基向量，因此$\dim V = 9$。
公式：\dim V = 3 \times 3 = 9
提示：注意矩阵空间维数等于行数乘列数，不要误以为是对称矩阵等特殊结构。
步骤 2/6
目标：理解子空间W的定义
子空间$W = \{ A = (a_{ij}) \in V \mid a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \}$，即所有迹为0的3阶实矩阵的集合。迹定义为对角线元素之和：$\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}$。
公式：\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0
提示：注意迹条件只约束对角线元素，非对角线元素无限制。
步骤 3/6
目标：分析约束条件的线性性质
迹条件$a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$是一个线性方程，它给出了矩阵元素之间的一个线性关系。在$V$的9个坐标（即矩阵的9个分量）中，该方程减少了一个自由度。
提示：线性方程个数即为约束个数，但需确保方程是独立的。这里只有一个方程，显然独立。
步骤 4/6
目标：计算子空间W的维数
由于$W$是$V$中满足一个线性条件的子空间，其维数等于$V$的维数减去独立线性条件的个数。因此$\dim W = 9 - 1 = 8$。
公式：\dim W = \dim V - \text{独立约束个数} = 9 - 1 = 8
提示：注意：如果约束条件不是独立的，则需减去独立约束的个数。这里只有一个约束，显然是独立的。
步骤 5/6
目标：验证维数（构造基）
可以构造$W$的一组基：例如，取所有非对角线元素对应的矩阵单位$E_{ij}$（$i\neq j$），共6个；再取对角线上的三个矩阵单位，但需满足迹为零，例如$E_{11}-E_{22}$，$E_{11}-E_{33}$，$E_{22}-E_{33}$中任意两个（因为第三个可由前两个线性表示），共2个。总计$6+2=8$个线性无关的矩阵，构成$W$的一组基，验证维数为8。
提示：构造基时注意线性无关性，避免重复或遗漏。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，子空间$W$的维数为8。
提示：最终答案填写数字8。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。