江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三、（19 分）判断下列线性方程组是否有解，若有解，求出该方程组的全部解．
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=2
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵的形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & 2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：行化简：消去第一列下方元素
对增广矩阵进行行变换：
$R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$，$R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & -3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & -3
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换时注意系数计算，避免算术错误。
步骤 3/7
目标：行化简：消去第二列下方元素
继续行变换：
$R_3 \leftarrow R_3 + R_2$，$R_4 \leftarrow R_4 - R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三行和第四行全为零，说明方程个数减少。
步骤 4/7
目标：行化简：化为行最简形
将第二行乘以-1：$R_2 \leftarrow -R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
再将第一行减去第二行：$R_1 \leftarrow R_1 - R_2$，得到行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -5 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行最简形中主元为1，且主元所在列的其他元素为0。
步骤 5/7
目标：判断解的情况
矩阵的秩为2，未知数个数为5，$r < n$，所以方程组有无穷多解。自由变量个数为$n - r = 3$。
提示：秩等于系数矩阵的秩，且等于增广矩阵的秩，否则无解。
步骤 6/7
目标：设定自由变量并求解
取$x_3, x_4, x_5$为自由变量，令$x_3 = c_1, x_4 = c_2, x_5 = c_3$，其中$c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$。
由行最简形第一行：$x_1 - x_3 - x_4 - 5x_5 = -2$，得$x_1 = -2 + c_1 + c_2 + 5c_3$。
由第二行：$x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 6x_5 = 3$，得$x_2 = 3 - 2c_1 - 2c_2 - 6c_3$。
提示：注意自由变量的系数符号，移项时不要出错。
步骤 7/7
目标：写出全部解
方程组的全部解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_3
\begin{pmatrix}
5 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}
$$
提示：解的结构是特解加上齐次解的组合，注意齐次解中自由变量对应的系数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。