江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）证明：实数域上的每个可逆上三角矩阵均可以表示为一个主对角线上元素为 1 的上三角矩阵与一个可逆的对角矩阵的乘积，并且这种表示方式是唯一的。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目条件
设 $A$ 是实数域上的 $n$ 阶可逆上三角矩阵，则 $A$ 可表示为 $A = D U$，其中 $D$ 是对角矩阵，$U$ 是主对角线上元素为 $1$ 的上三角矩阵，且这种表示唯一。
提示：注意可逆上三角矩阵的对角线元素均非零。
步骤 2/8
目标：构造对角矩阵 D
设 $A = (a_{ij})$，其中 $a_{ij}=0$ 当 $i>j$，且 $a_{ii} \neq 0$（因为可逆）。令 $D = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$，则 $D$ 可逆。
公式：$D = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$
提示：对角矩阵的逆就是各对角元素的倒数。
步骤 3/8
目标：构造上三角矩阵 U
定义 $U = D^{-1} A$，则 $U$ 是上三角矩阵，且其对角线元素为 $a_{ii}^{-1} a_{ii} = 1$。因此 $A = D U$。
公式：$U = D^{-1} A$
提示：注意 $D^{-1}$ 是对角矩阵，左乘 $A$ 相当于将 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $a_{ii}^{-1}$，不改变上三角结构。
步骤 4/8
目标：证明存在性
由上述构造，我们得到了 $A = D U$，其中 $D$ 是可逆对角矩阵，$U$ 是主对角线上元素为 $1$ 的上三角矩阵，因此存在性得证。
提示：存在性只需构造出具体的 $D$ 和 $U$。
步骤 5/8
目标：假设另一种表示
假设还有另一种表示 $A = D' U'$，其中 $D'$ 可逆对角矩阵，$U'$ 是主对角线上元素为 $1$ 的上三角矩阵。
公式：$A = D' U'$
提示：注意 $D'$ 和 $U'$ 不一定与之前构造的相同。
步骤 6/8
目标：推导等式关系
由 $D U = D' U'$ 得 $D'^{-1} D = U' U^{-1}$。左边是对角矩阵，右边是上三角矩阵且对角线元素为 $1$（因为 $U$ 和 $U'$ 的对角线都是 $1$，其逆和乘积的对角线也是 $1$）。
公式：$D'^{-1} D = U' U^{-1}$
提示：注意 $U^{-1}$ 也是上三角矩阵且对角线为 $1$，两个上三角矩阵乘积仍为上三角且对角线为 $1$。
步骤 7/8
目标：证明唯一性
因此 $D'^{-1} D$ 既是上三角矩阵又是对角矩阵，故它是对角矩阵。又因为其对角线元素为 $1$，所以 $D'^{-1} D = I$，即 $D = D'$，进而 $U = U'$。唯一性得证。
公式：$D'^{-1} D = I$
提示：一个矩阵同时是上三角和对角矩阵，则它必须是对角矩阵。
步骤 8/8
目标：总结结论
实数域上的每个可逆上三角矩阵均可唯一表示为 $A = D U$，其中 $D$ 是可逆对角矩阵，$U$ 是主对角线上元素为 $1$ 的上三角矩阵。
提示：此分解类似于矩阵的LU分解中的L为单位下三角，此处为上三角情形。
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