江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、设矩阵 $A, B$ 均可逆，那么 $\left(\begin{array}{cc}C & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设逆矩阵并写出分块形式
设 $M = \begin{pmatrix} C & A \\ B & 0 \end{pmatrix}$，其中 $A, B$ 可逆。设 $M^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，其中 $X, Y, Z, W$ 为待定矩阵，与 $M$ 分块方式相同。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：$C$ 为 $m \times n$，$A$ 为 $m \times p$，$B$ 为 $q \times n$，$0$ 为 $q \times p$，则 $X$ 为 $n \times m$，$Y$ 为 $n \times q$，$Z$ 为 $p \times m$，$W$ 为 $p \times q$。
步骤 2/7
目标：写出逆矩阵定义方程
由 $M M^{-1} = I$ 得：
$$\begin{pmatrix} C & A \\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法公式
提示：注意单位矩阵 $I$ 的维度应与 $M$ 一致，即左上角 $I$ 为 $m \times m$，右下角 $I$ 为 $q \times q$。
步骤 3/7
目标：展开矩阵乘法得到方程组
计算乘积得四个方程：
$$\begin{cases} CX + AZ = I, \\ CY + AW = 0, \\ BX = 0, \\ BY = I. \end{cases}$$
提示：注意矩阵乘法顺序不可交换，且 $0$ 表示零矩阵。
步骤 4/7
目标：利用B可逆求解X和Y
由 $BX = 0$ 且 $B$ 可逆，左乘 $B^{-1}$ 得 $X = 0$。
由 $BY = I$ 且 $B$ 可逆，左乘 $B^{-1}$ 得 $Y = B^{-1}$。
公式：若 $B$ 可逆，则 $BX=0 \Rightarrow X=0$；$BY=I \Rightarrow Y=B^{-1}$
提示：注意左乘与右乘的区别：这里 $B$ 在左边，所以左乘 $B^{-1}$。
步骤 5/7
目标：利用A可逆求解Z
将 $X=0$ 代入第一式 $CX+AZ=I$ 得 $AZ=I$，左乘 $A^{-1}$ 得 $Z = A^{-1}$。
公式：若 $A$ 可逆，则 $AZ=I \Rightarrow Z=A^{-1}$
提示：注意 $A$ 可逆，且 $A$ 在左边，所以左乘 $A^{-1}$。
步骤 6/7
目标：求解W
将 $Y=B^{-1}$ 代入第二式 $CY+AW=0$ 得 $C B^{-1} + A W = 0$，移项得 $A W = -C B^{-1}$，左乘 $A^{-1}$ 得 $W = -A^{-1} C B^{-1}$。
提示：注意负号的位置，以及矩阵乘法顺序：$A^{-1} C B^{-1}$ 不能随意交换。
步骤 7/7
目标：写出逆矩阵表达式
将 $X=0, Y=B^{-1}, Z=A^{-1}, W=-A^{-1} C B^{-1}$ 代入 $M^{-1}$ 得：
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \end{pmatrix}.$$
提示：最终结果中左上角为零矩阵，注意维度匹配。
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