江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设可约并推出有理根
假设 $f(x)$ 在有理数域上可约。由于 $f(x)$ 是三次多项式，可约则必有一次因式，即存在有理根。由整系数多项式有理根定理，有理根必为整数根且整除常数项 $c$。设整数 $m$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$，即 $m^3 + a m^2 + b m + c = 0$。
公式：整系数多项式有理根定理
提示：注意三次多项式可约必有有理根，且有理根必为整数根。
步骤 2/5
目标：利用奇偶条件分析根的性质
已知 $(a+b)c$ 是奇数，则 $c$ 是奇数，且 $a+b$ 是奇数。由 $c$ 为奇数，若 $m$ 为偶数，则 $m^3, a m^2, b m$ 均为偶数，与 $c$ 奇数矛盾，故 $m$ 必为奇数。设 $m=2k+1$，代入方程。
提示：奇偶性分析：偶数乘以任何整数仍为偶数，奇数乘以奇数为奇数。
步骤 3/5
目标：代入并展开方程
将 $m=2k+1$ 代入 $m^3 + a m^2 + b m + c = 0$，展开得：
$$(2k+1)^3 + a(2k+1)^2 + b(2k+1) + c = 0$$
$$= 8k^3+12k^2+6k+1 + a(4k^2+4k+1) + b(2k+1) + c = 0$$
提示：展开时注意各项系数，避免遗漏。
步骤 4/5
目标：对方程两边模2分析奇偶性
考虑方程左边模2：$8k^3, 12k^2, 6k, 4ak^2, 4ak, 2bk$ 均为偶数，故模2后为 $1 + a + b + c \mod 2$。
因为 $a+b$ 为奇数，$c$ 为奇数，所以 $a+b+c$ 为偶数（奇数+奇数=偶数），则 $1 + a + b + c$ 为奇数。
而方程右边0为偶数，矛盾。
提示：模2运算时，只保留奇偶性，注意 $1 \mod 2 = 1$。
步骤 5/5
目标：得出矛盾并完成证明
由上述奇偶性矛盾可知假设不成立，故 $f(x)$ 无有理根，从而在有理数域上不可约。
提示：注意反证法的逻辑：假设可约推出矛盾，则原命题成立。
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